주어진 문제

3차원 공간에 점광원과 구가 있다. 점광원은 모든 방향으로 빛을 방사하며 구는 빛을 가린다. 구가 빛을 가리기 때문에 생기는 그림자가 x-y평면에 만드는 자취의 방정식을 구하여라.

준비단계.

광원이 $A$에 있고, 구의 중심이 $S$에 있다고 하자. 그리고 구의 반지름은 $d$라고 하자.

$k=|A-S|$라 하자.

1단계

광원을 꼭지점으로 하는 원뿔 중, 구에 접하는 것을 구한다.

1-1단계

원뿔이 구에 접한다고 하면, 구와 원뿔의 접점은 원을 이룬다. 이때, 이 원의 중심을 $C$라고 하고, 원의 반지름을 $R$이라고 하자.

1-1-1단계

구에 접하는 원의 중심의 위치는 간단한 비례식을 통해서 구할 수 있다. 또는 피타고라스의 정리를 이용해도 구할 수 있다. 자세한 계산을 생략한 채 구한다면 다음과 같다.

$C = (S-A)(1-\frac{d^2}{k})+X$

1-1-2단계

구에 접하는 원의 반지름을 $R$이라고 하면, 피타고라스의 정리를 이용해서 쉽게 구할 수 있다.

$R = d^2(1-\frac{1}{k})$

1-2단계

원뿔이 구에 접하면서 생기는 원의 방정식을 찾는다. 원 위에 있는 점을 $B$라고 하자. 그럼, 원 위에 있는 점은 다음의 두 방정식을 모두 만족해야 한다.

평면의 방정식

$(A-C)\cdot (B-C) = 0$

원의 방정식

$|B-C|^2 = R^2$

이 방정식은 미지수가 3개인 2차 연립 방정식이다. A, C, R을 알고 있으므로 B도 알 수 있다. 하지만 “원”은 1차원 도형이기 때문에, 1개의 매개변수를 남겨두고 나머지 2개는 그 매개변수 1개로 표현해야 한다. (그렇게 해야만 앞으로 그림자가 만드는 자취의 방정식을 구할 때 그 매개변수를 쓸 수 있다.)

$B=(b_x(\theta), b_y(\theta), b_z(\theta))$

라고 하자.

1-2-1단계

$A-C = G$

$B-C = H$

라고 하자. 그럼 위의 방정식은

$G\cdot H = 0$

$|H|=R$

으로 변신한다. 우린 H가 뭔지 알아내면 된다.

이걸 쉽게 풀려면, 일단 이게 원의 방정식이라는걸 알고 있으니까, 원의 극좌표 형식을 생각해 보자. 가령 $\alpha$와 $\beta$가 크기가 1이고 서로 수직인 벡터라고 하면

$R(\alpha\cos(\theta) +\beta \sin(\theta)) = H$

이제 $\alpha$와 $\beta$가 G에 수직인 벡터이기만 하면 된다. 그런데, G의 수직인 벡터는 쉽게 찾아낼 수 있다.

1-2-2단계

다음의 보조정리를 설명하고 넘어간다.

K와 L이 그냥 어떤 두 벡터라고 하자. 단, 이때 K는 $|K|=1$을 만족한다. 그럼 L로부터 항상 K에 수직이면서 서로 직교하는 두 벡터 M과 N을 찾아낼 수 있다.

벡터 M을 다음과 같이 정의하자.

$M = L – (K \cdot L)$

벡터 M이 K와 직교하는 것은 쉽게 알 수 있다. (내적 해보면 된다.)

이제 K와 M에 동시에 직교하는 벡터도 다음과 같이 알 수 있다.

$N = K\times M$

이때 $\times$는 통상의 3차원 Cross product를 의미한다.

여기서 얻은 M과 N을 크기를 1로 만들어 주면 1-2-1단계의 $\alpha$와 $\beta$를 알아낼 수 있다.

1-3단계

광원과 원 위에 있는 점을 지나는 직선의 방정식을 구한다. 공간에서 두 점 A와 B를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.

$\frac{x-a_x}{b_x – a_x} = \frac{y-a_y}{b_y-a_y} = \frac{z-a_z}{b_z – a_z}$

이때, B의 각 성분은 매개변수 $\theta$에 따라서 바뀌므로 실질적으로 위의 직선의 방정식은 원뿔의 방정식이다!

2단계

그림자가 만드는 자취의 방정식을 알아낸다.

2-1단계

1단계에서 알아낸 원뿔의 방정식에 z=0을 대입해서 그 조건을 만족하는 $(x(\theta), y(\theta))$를 찾아낸다.

2-2단계

필요하다면 위에서 알아낸 매개변수 방정식을 $y=f(x)$ 꼴로 바꿔준다.

이 모든 계산에 A, S, d를 문자로 대입해서 풀어낼 수도 있다. 여백이 부족한건 아니지만 일단 그냥 둔다.

참고로, 문자로 대입해서 명시적으로(Explicitely) 풀고 싶다면 1-3단계 -> 2-1단계 -> 2-2단계를 먼저 해결한 후, 1-2단계부터 1-1단계로 거꾸로 거슬러 올라가는 것이 쉬울 것이다.

http://news.sbs.co.kr/section_news/news_read.jsp?news_id=N1000765954

자외선을 차단한다고 선팅을 진하게 하는 운전자도 있는 것 같다. 이게 다 고등학교때 물리를 귓등으로도 안 배워서 그런듯. -_-; (그냥 눈부셔서 가렸다고 하지…)

http://en.wikipedia.org/wiki/Ultraviolet

원래 유리는 자외선 투과가 잘 안된다. 몸에 많이 해로운 UVB와 UVC는 보통 유리에 대해 50% 이하의 투과율을 갖는다. 물론 쿼츠 유리는 100%의 투과율을 갖긴 하지만 자동차 유리에 쿼츠 유리를 쓰는건 비싸면서 목숨이 위험해지는 일이므로 아마 그런 일은 없을 것이다.

http://www.sinclairmfg.com/datasheets/sodalimecurve.htm

나도 실험할 때 쿼츠 유리랑 그냥 유리랑 섞어 쓰다가 자외선 영역의 결과가 이상하게 나와서 샘플 다 버리고 다시 한적도 많았다. (한 수십만원어치는 그냥 버린듯…)

아무튼 자동차 유리 선팅에 자외선 핑계는 대지 말자. 공부 안한거 티난다.

별 이유 없이 글이 3편까지 왔다.

입자가 벽에 수직으로 충돌하는 경우, 운동량이 보존된다고 하면 당연히 에너지도 보존된다. 그럼 입자 2개가 충돌하는 경우를 제대로 생각해 보자. 일단 쉽게 생각해 보려면, 입자 2개가 정면충돌한다고 해 보자. 입자 2개가 똑같다고 하고 탄성계수는 1이라고 하자. 그럼 충돌 전과 충돌 후에 입자가 가지는 속도는 변하지 않을 것이고 서로 가던 방향의 반대 방향으로 제 갈길을 가게 된다. 그럼 운동량도 변하지 않고 각각의 운동량의 제곱도 변하지 않는다. 따라서 에너지도 변하지 않는다. 모든 충돌은 거의 대부분 입자 2개의 충돌로 근사할 수 있고, 보는 각도와 속도를 잘 바꾸면 항상 정면충돌로 바꿔서 볼 수 있다. 이제 열에너지를 운동에너지로 간주한다면 모든 충돌은 완전탄성충돌이므로 입자의 충돌에서 운동에너지는 항상 보존된다는 것을 알 수 있다.



<sup>[각주:

1

]</sup>

이제, 에너지 보존법칙의 본질에 조금 더 다가가 보자. “보존”이라는 말은 “시간이 지나도 크기가 변하지 않음”을 뜻한다. 에너지는 두 종류가 있는데, 그중 운동 에너지는 충돌에서 보존된다는 걸 알 수 있었다. 이제, 운동에너지와 위치에너지의 합이 보존되는 경우를 살펴보자.

——-

이 글의 연재를 잠시 중단합니다. -_-;

그냥 쉽게 에너지 보존법칙을 이해해 보려고 했는데, “왜 물은 위에서 아래로 흐르나요?”라는 2000년도 넘은 질문을 이해해야 하는 불상사가 일어나는 바람에 고민 좀 더 해보고 쓰겠습니다.

아마 “힘의 본질”에 대해서 이해하는 다른 글을 쓴 이후에 이 글을 계속할 것 같네요.

이번에 SK에서 멤버십 카드를 받았다. 그걸 갖고 편의점에 갔더니 더블할인이라는 것이 가능하다고 하는데, 그 내용은 다음과 같다.

10%할인이면 꽤 많은 것 같지만 사실은 다음과 같다.

1000원짜리를 산다 – 50원 적립.

1000원짜리를 산다 – 50원 적립.

이제 100원이 적립되었으므로

1000원짜리를 산다 – 100원 할인 = 900원에 구입

내가 얻은 것은 3000원어치이고 낸 돈은 2900원이므로 실제 할인율은 1/30정도로, 약 3%가 된다.

SK가 나쁘단 건 아니고, 그냥 포인트 할인이라는 것이 그렇단 얘기다. 10%할인이라고 좋아하기 전에, 실제로는 3%정도 할인이라는건 알고 나서 좋아하자.

어제 밤에 야식 사먹다가 기분이 발효될 뻔 했다.

며칠 전 옆건물 닭집 아줌마에게 받은 파프리카 5개중 1개다,

친구에게 요리법을 물어봤더니, 회쳐먹으면 된다고 해서.

썰었다.

또 다른 친구에게 물어봤더니 회쳐먹지 말고 세로로 얇게 썰어서 먹으라고…

…그게 회다.

이제 접시에 이쁘게 담아낸다.

파프리카가 무슨 맛인지는 다들 알 것이므로 감상은 따로 적지 않는다. 난 저걸 썩기전에 4개나 더 먹어야 한다. L햄버거 가거에서 파는 파프리카 베이컨 비프버거에 들어가는 파프리카랑 느낌이 다르다. 아무래도 나머지는 소고기 사다가 같이 볶아먹어야 할 것 같다.

많은 SF소설과 SF영화를 보면, 가장 많이 나오는 소재중의 하나가 미래에는 컴퓨터가 인간을 지배하고, 특히 인공지능을 갖게 된 컴퓨터가 논리적 사고방식을 통해서 도출된 결과로 인간을 제거하는 것이 가장 합리적이라고 생각한다는 것이다. 터미네이터, 매트릭스 등. 내가 SF장르의 전문가가 아니어서 아직 발견 못한 거겠지만, 적어도 지금까지 내가 봐 왔던 SF 이야기에서 컴퓨터가 인간이 쓸모있는 존재로 평가하고 함께 발전을 도모하려는 것은 보지 못했다.

SF 이야기를 쓰는 것이 결국은 인간이기 때문에, 이것은 곧 인간이 인간 자체를 그다지 쓸모있게 평가하지 않는다는 것이기도 하다. 아니면 컴퓨터가 인간을 좋게 평가하면 아무 재미가 없기 때문일지도 모르겠다.

또 다른 것도 있다. 외계인이 나오는 SF의 경우, 많은 외계인들이 지구를 정복하려고 한다. 아마 ET 말고 다른 외계인들은 다들 지구에 눈독을 들이는 존재들이다. 물론 예외도 있다. 최근에 만들어진 District 9이나 Avatar의 경우에는 그나마 외계인들이 철거민 수준의 계급을 갖고 있다. 하지만 그 외에 많은 SF영화에 등장하는 외계인들은 지구가 참 좋아보이나 보다.

사실은 외계인들은 인간과 진화 체계가 다르기 때문에, 지구의 자연 환경이 아무 짝에도 쓸모 없을 수가 있다. 가령, 우리는 파랗기 때문에 아름답다고 말하는 지구지만 70%가 물로 뒤덮여 있는 건 외계인들에겐 “여긴 70%가 사막지대잖아”라고 생각할 수도 있는 부분이다. 외계인들에게는 온도가 너무 높거나 너무 낮을 수도 있다. 그걸 정복하겠다고 오는 애들은 사실 그냥 남극이나 에베레스트 산에 국기 꽂겠다고 도전하는 정도의, 극히 소수의 존재들일 수 있다.

뭐, 위의 두 고정관념을 다 깨버린 SF도 있긴 한데, “은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서”정도가 있다. 외계인이 지구를 그냥 밀어버리려고 하고, 인간에 대한 평가는 고작 “대체로 무해함”이다.

고정관념을 깨는 신선한 스토리를 조금 더 맛보고 싶다. 음.

지금 고민중인 문제다

Si기판 위에 물질 A를 코팅하고 다시 그 위에 물질 B를 코팅한다. A의 두께를 모른 상태에서 B의 두께만 측정하려면 어떻게 해야 할까?

조건은, A와 B는 광학적으로 거의 투명하고, B의 두께가 A의 두께보다 수십배 얇은 것 정도는 확실하다. 표면 품질은 Si기판의 품질을 그대로 따라간다.

생각1

3M테이프로 마스크를 붙이고 A를 코팅하고 B를 코팅한다.

이 생각은 바로 기각되었다. 3M테이프를 떼어내서 알 수 있는건 결국 A+B의 두께이다.

생각2

A를 코팅하고 3M테이프로 마스크를 붙이고 B를 코팅한다.

이 생각도 바로 기각되었다. 3M테이프를 떼어낼 때 A도 같이 떨어질 것이다.

생각3

A를 코팅하고 비접착식 마스크를 붙이고 B를 코팅한다.

이 생각은 바람직하지만 마스크의 설계가 문제이다. B를 코팅할 때 코팅 장비에 마스크를 부착해서 넣어야 하는데 코팅 장비가 어떻게 생겼는지 전혀 알 방법이 없다.

생각3-1

마스크를 원판에 ㄷ자 걸쇠를 붙인 모양으로 만든다.

이 생각은 편리하게 쓸 수 있는데 코팅 장비도 ㄷ자 걸쇠로 들어갈 수가 있으므로 주의해야 한다.

생각3-2

마스크를 그냥 평평하게 만들고 코팅 장비에 기판과 같이 넣어버린다.

이 생각은 코팅 장비의 모양에 상관 없이 그냥 쓸 수 있다. 문제는 마스크와 기판의 위치가 틀어지면 코팅 했어도 버려야 한다는 점이다.

계속 고민 중.

훈련소에 있을 때 답답한 사람을 한명 만났었다.

보통 공지사항이 있으면 소대장 훈련병인 나를 통해서 전달이 되는데, 분대장들이 직접 전달했지만 전달했다는 사실이 알려지지 않은 채 내가 다시 전달하는 경우도 많다.

그럼 그냥 그러려니 하고 넘어가면 되는데, 같은 얘기를 두번 세번씩 듣게 된다고 짜증내는 사람이 꼭 있더라. 그럼 나한테 당신이 내가 말하려고 하는 사실을 알고 있다는 걸 내가 말하기 전에 알려주시든지. 내가 당신이 그걸 안다는 걸 모르는데, 내가 임의로 공지사항을 전달하지 않을 수 있나? 그리고 당신이 안다고 해서 같은 방에 있는 다른 사람들이 모두 다 알고 있다는걸 확신할 수 있나? 공지사항 듣다가 첫 문장만 듣고 “아, 그거 들었어요”라고 말하는데, 내가 말하려는게 당신이 들은 그 공지사항인지 아니면 내용이 바뀐 새로운 공지인지 내가 말하기 전에 어떻게 알고 짜증부터 내는지?

그쪽이 왜 짜증내고 있는지 이해하고 있기 때문에 싸우진 않았지만, 싸울뻔 했다.

욕심을 버리면 남는것이 없고, 욕심을 부리면 끝이 없다.

어디든 그 중간에서 멈출 수만 있다면, 그곳에서 곧 행복할 것이다.

버지니아 대학의 이승훈 교수가 천안함 조사 결과의 조작 가능성을 제기하는 논문을 썼다.


http://arxiv.org/abs/1006.0680

공짜니까 그냥 가서 읽어보자.

대강 읽어봤는데, 이승훈 교수는 천안함 사고와 관련된 실험을 진행하였고 그 실험 결과를 받아들인다면 천안함 조사 결과 보고서와 모순이 발생한다고 주장한다.

재료쪽은 잘 몰라서 아무래도 재료공학 전공하는 친구에게 물어봐야겠다. 뭔소린지는…-_-;