[카테고리:] 학술

카레

추가재료 : 카레 가루

감자, 고구마, 양파, 두부, 돼지고기를 깨끗히 썰어서 적당한 크기로 자른다. 이 재료를 후라이팬에 적당히 볶는다. 끓는 물에 카레가루와 함께 이것들을 쓸어넣고 적당히 중간 세기의 불에서 끓인다. 맛있어 질 때까지 끓이면, 이제 맛있는 카레요리 완성.

된장찌개

추가재료 : 굵은 멸치, 된장

감자, 고구마, 양파, 두부, 돼지고기를 깨끗히 썰어서 적당한 크기로 자른다. 멸치를 냄비에 넣고 끓이다가, 적당히 끓은 것 같으면 이 재료를 된장과 함께 쓿어넣고 적당히 중간 세기의 불에서 끓인다. 여기서 포인트는 물론 맛있어 질 때까지 끓이는 것.

볶음밥

추가재료 : 밥

감자, 고구마, 양파, 두부, 돼지고기를 적당히 ›?底 적당한 크기로 자른다. 이 재료를 밥과 함께 후라이팬에 적당히 볶는다. 맛있어 질 때까지 볶을 것.

김치볶음밥

추가재료 : 밥, 김치

볶음밥 할 때 김치도 썰어서 넣으면 된다.

이 식을 잘
계산하면 되는데



,

$\frac{dS}{d\alpha}\right|_{\alpha=0}
= frac{d}{d\alpha}\int L(v(\alpha,t),x(\alpha,t);t)dt$

생각해보니
이건 그냥 연습문제이므로 이 글에서는 자세한 설명은
생략한다



.



사실
수식 쓰기가 귀찮았다거나 하는 이유는 아니라고 생각해
주자



.



미분을
잘 해주고



,



부분적분을
한번 해주고



,
$\eta$



로 묶어준 후 경계조건을 적용하면
된다



.



그럼



$\eta$



가
어떻게 될지 아무도 모르지만 그럼에도 불구하고 답이
나와야 하기 때문에



,
$x(t)$



가 어떤 조건을 만족해야 하는지
알아낼 수 있다



.

$\frac{\partial
L}{\partial x} – \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=0$

바로 이 공식인데


,


이것은 굉장히 중요하다


.


외워두더라도 먹고사는데 지장이 없을 정도로
중요한 공식이다


.


위의
방정식을 만족하는


$x(t)$


는


S


를 최소화 시킬 수
있다


. (


이 식을 만족하는


x(t)


가 왜


S


를
최소화 시키는지는


,


대입해서
미분해보면 된다


.)

중요한건 이 공식이 유도되는 과정이 아니다. 사실 여기까지는 단순히 수학이고, 따라서 아직 “물리”라고 부르는 것은 전혀 나오지 않았다. 물리학이 되려면 이제 이 공식이 현실에서 어떻게 사용되는지, 현실을 어떻게 표현하는지 얘기해야 한다.

물리학이 뭘 하는 학문인지 잊어먹고 있었는데, 다시 한번 생각해보자. 우리는 무엇을 물리학이라고 부르나? 사실은 이 세상에서 일어나는 현상들은 모두 물리 법칙을 따르는 것으로 관찰된다. “현상(Phenomenon)”이란 또 뭘까? 우리가 관찰하고 있는 모든 것이다. 이렇게 말하면 순환논리인 것 같으니까 여기까지만 하고, 어쨌든 물리학이 뭔지 잘 생각해 보면 어떤 관찰 대상에 대해서, 그 관찰 대상을 표현하는 수 몇개를 잘 정의한 후 그 수들이 어떻게 변해 나가는지 알아내는 것이다.



<sup>[각주:

1

]</sup>



이제 물리학이 어떤건지 정했으니까, 여기다가 물리학을 어떻게 끼워넣을지 생각해 봐야 한다. 물리학에서 S라는 값이 있다고 할 때, 우리는 여기에 “물리 법칙”이라는 이름으로 하나의 규칙을 넣는다. 그것은 “우리가 관찰하는 대상을 표현하는 수들은 S를 최소화 하는 방향으로 변화해 나간다”는 것이다. 그냥 S라고만 부르면 재미가 없으니까 여기에 이름을 붙여주자. 그 이름은 “작용(Action)”이다. 그리고 이 규칙의 이름을 “최소 작용의 원리(Least action principle)”라고 부른다.

물리학에서 S라고 부르는 값이 있다고 하면, 수학에서 원래 그 S를 어떤 함수의 적분으로 정의했었기 때문에 물리학에서도 그것에 해당하는 어떤 함수가 있을 것이다. 그 함수를 L이라고 부르자.



<sup>[각주:

2

]</sup>



우리는 현상이 “시간”에 따라 변하는 것을 관찰하고 있기 때문에 L의 변수는 시간이 될 것이다. 그리고 결정적으로 L에 넣어서 우리가 알고 싶은 값이 뭔지를 정해야 하는데, 그것은 대부분의 경우 위치와 속도가 된다. 그냥 x와 v라고 부르자. 그럼 이제 L이 x와 v의 함수이긴 한데, 어떤 함수인지를 알아야 한다. 아무리 라그랑지안이 전가의 보도라 하더라도 어떻게 생겼는지 모른다면 아무 문제도 풀 수 없다. 우리가 관찰하고 있는 계의 라그랑지안을 알아내야 할 것이다. 그럼 도대체 라그랑지안이란 뭔데? 왜 라그랑지안을 L=T-V로 정의하는걸까?

(다음 글에 이어서…)

(글이 어려운지 쉬운지 산으로 가고 있는지 읽고 있는 분이 있다면 댓글좀 달아주세요…)

chp1.pdf에 액세스하려면 클릭하세요.

상세한 수학 공식의 유도는 이 문서를 읽어보면 좋을 것 같다.

1


리터에


10km


를 가는 자동차가
있다고 하자


.


이
자동차로 서울에서 부산까지


500km


를
달려간다


.


필요한
기름의 양은


50


리터일
것이다


.


그런데


,


강릉까지


200km


를
가고


,


강릉에서 부산까지


400km


를 간다고 하자


.


그렇게 되면 필요한 기름의 양은


60


리터가
된다


.


하지만


,
1


리터를 갖고 갈 수 있는 양이 항상


10km


로
정해지지는 않는다


.


차를
달리다 보면 빠르게 달리기도 하고 느리게 달리기도
하는데


,


그런 상황에서
공기저항이 차가 달리는 것을 방해하고 이것은 차의
연비를 나쁘게 할 것이다


.

기름을 태워서
나온 에너지


*


엔진
효율


=


공기저항이
한 일


+


그 외의
마찰력이한 일

이때


,


그 외의 마찰력이란 자동자 자체가 갖고
있는 마찰력인데


,


거의
대부분이 미끄럼 마찰력이기 때문에 그 크기가 일정하다


.


공기저항의 크기는 대체로 속력에 비례하는
항과 속력의 제곱에 비례하는 항이 있다


.


엔진효율은 단순히 상수이므로


,


여기서는


1


로
가정해도 무방하다


.

잘 생각해보자


.

공기저항


+


마찰력


= $f(v)$


라고
하자


.


여기서 마찰력은
상수이므로 속력의 함수로 생각해도 문제가 없어서


$f(v)$


안에 그냥 넣어준다


.

힘이 한 일


=
$\int f(v) ds = \int f(v)\frac{ds}{dt} dt = \int f(v)v dt = \int L(v)
dt$

이쯤 되니까


,


속력에 대한 적당한 함수를 시간에 대해서
적분한 함수라고 생각해 버리게 되었다


.


이게 가능한 이유는


,


속력


v


는
위치에 대한 함수이고


,


위치는
다시 시간에 대한 함수가 되기 때문에 연속해서 미분을
적용할 수 있기 때문이다


.


대충
넘어간다


.

아무튼


,


다음과 같이 위의 식을 다시 써보자

$S
= \int L(v(t))dt $

이제


S


라는
값을 최소화 시키는 것이 우리의 목표가 된다


.


근데


,


잠시
헛소리를 해 보자면


,


마찰력이
속력에 대해서 변할 수 있겠지만


,


또한 위치에 따라서 변할 수도 있다


.


그냥 그렇다 치자


.
(


그럴듯 하지 않은가


?)


그럼 위의 식은 다시 다음과 같이 변한다


.

$S=\int
L(v,x;t)dt$

여기서


$L(v,x;t)


라는 것은


$v=v(t)$, $x=x(t)$


라는
것을 의미한다


.

이제 어쩔텐가


.
S


를 최소화 시키면


,


가장 싸게 먹히는 방법을 찾아내는 것이다


.


기름이 부족한 우리나라에서 이런 식으로
기름을 절약할 수 있는 방법을 알아낸다면 멋질것 같지
않은가


?

이제 어떻게
하면


S


를 최소화 할
수 있는지 생각해 보자


.


여기서


,


우리가 바꿀 수 있는 것은


x(t)


뿐이다


.


출발지점과 도착지점은 정해져 있고


,


언제 어디에 있느냐만이 오직 우리의 유일한
자유일 뿐이다


.


물론


x(t)


를 미분하면


v(t)


도 정해지는 것이기
때문에 굳이 부연설명하지는 않겠다


.

여기서 소개할
방법은 변분법


(Calculus of
variations)


이다


.
Calculus


를 충치로 아는 사람도 있기
때문에


(


치과의사들


)
”


변화들의 충치


”


로
해석하는 실수를 하지 않으려면 우리나라에서 뭐라고
부르는지 알아 두자


.

변분법은 원래
이해하기 어려운 것이다


.


하지만
그 결과로 유도되는 식은 이해하기 쉽고


,


쓰기도 편하다


.


심지어
변분법이 뭔지 이해하지 못해도 그냥 외워서 쓸 수
있다


. (


수리물리학
교과서가


Formula book


으로
사용되는 이유이다


.)

변분법의 핵심은


,
”


우리가 이미 답을 안다


”


고
가정하는 것이다


.


모르잖아


?


이렇게 반문한다면 어쩔 수 없지만


,


언젠가 답을 알게 되지 않을 것이냐는 말이다


.


아무튼


,


답을
안다고 하자


.


그리고
그 답을


$x(t)$


라고
하자


.


그럼


,


이제


”


답이
아닌


”


다른 것들을
생각해 볼 수 있다


.


그것들을


$x(\alpha, t)$


라고 하자


.


이때


, $x(0,t)=x(t)$


인
성질을 갖고 있다


.


그럼
이제 이 오답을 다음과 같이 써볼 수 있겠다


.

$x(\alpha,t)=x(t)+\alpha
\eta (t)$

일단 이렇게
써놓은 함수가







$x(0,t)=x(t)$








라는
성질을 만족한다는 건 분명하다






.








그리고






,








우리는
언제나 출발지점과 도착지점을 정해놓고 있기 때문에






,
$\eta(t)$








는
출발할때와 도착할때에는 항상






0








이
되어야 한다






.

이제 이걸 위의



S



에
대입하자



.

$S(\alpha)=\int
L(v,x;t)dt = \int L(v(\alpha,t),x(\alpha,t);t)dt $

$x(t)$



가
답이 될 때



, S



는
최소값



(



부호를
바꿔주면 최대값



)



을
가진다는 사실을 알고 있다



.



그리고



$x(t)$



가
답이 되는 경우는



$\alpha=0$



이라는
것도 알고 있다



.



최대



/



최소문제를
해결할 때 가장 좋은 방법은 미분해서



0



이
되는 지점을 찾는 것이다



.



미분해서



0



되는
지점을 찾는 것이 최대



/



최소
문제의 해결법이라는 것은 고등학교때



,



미적분을 처음 배우면서 나타난 최초의
예제이다



.



미분
해보자



.



수식은
조금 골치아프지만, 일단 해봐야 하는데, 다음편에서 계속…

수식 쓰다 지친다.

일단 적당한 타원체가 있다고 하자. n차원에서의 타원체라면 다음과 같이 쓰면 된다.

2차원에서는 그 유명한 2차곡선중의 하나인 “그냥 타원”이고, 3차원에서는 타원체, 4차원이상에서도 타원체라고 부른다. (굳이 구별하자면 초타원체(hyper-eliptic body)랄까.)

2차원에서 타원의 부피는 넓이라고 부르고, 어쨌거나 그 크기는

가 된다. 3차원에서 타원체의 부피는

이 된다. 뻔하다. 그냥 위의 S는 그 부피가

이다. 분모에 있는 계수를 전부 곱하면 된다.

언제나 그렇듯 계수 i를 실수로 일반화 시켜보자. (미친짓임. 수학적으로 엄밀한지 어떤지 잘 모름.)

이번에도 분모에 있는 a(k)를 전부 곱하고 싶은데…하고 싶은데 무한히 많다. -_-;;;

잠깐 연구해 보자.

의 log값을 계산해 보면

이렇게 된다. $exp(log(a))=a$인 관계가 있다는 걸 잘 생각해 보자. n차원으로 일반화 시킨 경우에는

를 계산한 후

를 계산하면 된다. 덧셈은 연속체로 일반화 시켰을 때 적분이 되므로,

라고 한 후 연속체 계수를 갖는 일반적인 타원체 S의 부피는

라고 하면 된다.

참고로, 여기서 계산한 무한히 많은 것의 곱을 적분으로 바꿨다가 다시 지수에 올려서 원래대로 바꾸는 방법은 Path integral에도 등장한다.

또 참고로, goldenbug님의 글을 참고해 본다면 사실 좌표변환 행렬식(Jacobian)을 이용하는 방법이 더 일반적인 방법이다. 본문에서는 n차원 유클리드 공간에서의 직교 좌표계(Cartesian coordinate)만을 다루고 있지만, goldenbug님의 글 처럼 Jacobian을 이용해서 계산하면 직교 좌표계가 아닌 경우에도 “타원체”라고 부르는 것의 부피를 일반적으로 계산할 수 있다. 또한 일반화시켜서 좌표가 연속체인 경우에도 계산할 수 있다. 거기까지 다루면 함수해석학까지도 다뤄야 하기 때문에 일단 포기한다.

우선 이 글을 참고하고 와야
한다



.

http://snowall.tistory.com/5

라그랑지안



(Lagrangian)



이란



,



수학자 라그랑지



(Lagrange)



의
이름이 붙은 어떤 함수이다



.



라그랑지랑 친하냐고 묻는다면



,



뭐 내가 태어나기 전에 죽은 사람이라
본적도 없는 사람인지라 뭐라 할말이 없다



.



비슷한 놈으로 해밀토니안



(Hamiltonian)



이
있다



.



유명
가수 “토니 안”과 전혀 관련이 없는 이것 또한 어떤
함수이다



.

이놈을 이해하기 위해서 이해해야
할 개념이 꽤 많다



.
(



사실 나도 다 이해하진 못했다



.)

라그랑지안을 이해하기 전에
우선 함수가 뭔지를 이해해야 한다



.



왜냐하면 라그랑지안은 함수 중에서도
이해하기 어렵다는 범함수



(functional)



이기
때문이다



.

함수란 두 집합을 연결해주는
규칙이다



.



가령



,



두 집합



A,
B



가 있다고 하면



A



의
어떤 원소



x



를
불러줬을 때



B



의
어떤 원소



y



를
알려주는 것을 함수라 부르고 그것을



f



라는
기호로 쓴다고 하면



,
y=f(x)



라는 식으로 표현한다



.



범함수라고 하는 것은



,



집합



A



가
적당한 벡터공간이고 집합



B



가
실수



(Real number)



로
주어지는 함수들이다



.



예를 들어



,
3



차원 공간에 어떤 벡터



x



가
있을 때



,



이
벡터와 특정한 벡터



(0,
0, 1)



의 내적 값을 함수값으로 갖는



,



그런 함수를 범함수라고 부를 수 있겠다



.

이제 본격적으로 라그랑지안에
대해서 얘기를 해 보자



.



범함수에 대한 이해가 부족한 것 같으면
그때그때 보충해 나가도록 하겠다



.

물리학자들이 중요하게 생각하는
값 중에 “에너지”라고 부르는 것이 있다



.



에너지에는 두가지 종류가 있는데



,



하나는 운동에너지이고 하나는
위치에너지이다



.



질량에너지라고 부르는 형태의 에너지도
있지만 이것은 사실 위치에너지의 한 형태이기 때문에
굳이 얘기하지 않겠다



.



다들 잘 알다시피



,



이 우주에서 어떤 물리학적인 과정이
일어나고 있을 때



,



그 과정이 일어나는 전체 계가 그 과정이
일어나지 않는 다른 부분들과 전혀 상호작용하지
않는다고 하면



,



그 과정이 일어나는 전체 계의 전체
에너지는 항상 같은 값을 갖는다



.



여기서



,



전체 에너지란 각 부분들의 모든
운동에너지와 모든 위치에너지를 계산해서 단순히 다
합친 값이다



.



여기서



,



바로 탁



!



하고 떠올라야 하는 점은



,



에너지라는 것이 앞에서 설명한 범함수에
해당한다는 점이다



.



운동에너지는 “속도”라든가
“운동량”이라는 벡터를 이용해서 하나의 수를 찾아내는
함수이고



,



위치에너지는
“위치”라고 하는 벡터로부터 하나의 수를 찾아내는
함수이다



.



따라서



,
“



전체 에너지”라고 하는 값은 “속도”
벡터와 “위치” 벡터로부터 하나의 수를 찾아내는
함수가 된다



.



그럼



,



속도 벡터 공간과 위치 벡터 공간을
합쳐서 하나의 벡터 공간이라고 치고



,



이 벡터 공간에서 하나의 벡터가 주어지면
그에 맞는 실수 값 하나를 찾아내는 함수가 바로
에너지라고 할 수 있다

여기서



,



위치 벡터와 속도 벡터를 합쳐서 하나의
벡터 공간으로 만든 공간의 이름을 위상 공간



(Phase
space)



이라고 부른다



.



우리가



,



어떤 물체의 움직임을 알고 싶으면
어디로 얼마나 빠르게 움직이는지 알면 충분하기 때문에
위상공간에서 그 물체를 나타내는 점의 움직임을
추적하면 된다



.



라그랑지안이라는 것은 그 움직임을
추적하기 위해 필요한 그 어떤



,



무언가이다



.

자



,



생각해 보자



.



등속 직선운동을 하고 있는 물체의
움직임은 위상공간에서 어떻게 표현될까



?
6



차원의 적당한 공간을 상상할 수 있는
상상력이 절실한 시점이지만



,



수학적으로 엄밀해지지 말자



.



포기하면 편하다



.



어차피 수학적 엄밀성은 고전역학
교과서를 보면 자세히 설명되어 있으므로 여기서는
굳이 안 따지겠다



.
(



그렇다고 틀린 내용은 아니다



.



단지 엄밀한 논증을 거치지 않을
뿐이다



.)



등속직선운동을
하는 물체의 위치는 계속해서 어디론가 가고 있고



,



속력은 고정되어 있다



.



따라서 공간축 방향에 대해서는 평행하게
움직이고 속도축 방향에 대해서는 수직으로 움직일
것이다



.



도저히
상상이 안가면 공간축



1



개



,



속도축



1



개만
써서



2



차원
위상 공간을 그려놓고 직접 그려봐도 된다



.



그 다음으로 복잡한 등속 원운동은
어떻게 표현될까



?



이것은 위상공간에서는 타원운동으로
표현된다



.



이런식으로
점점 복잡한 운동에 대해서 위상공간에서 어떻게
움직이는지 상상해 볼 수 있을 것이다



.

하지만 상상으로는 아무것도
할 수가 없다



.



뭔가를 하기 위해서는



,



좀 더 엄밀한 무언가가 있어야 한다



.



그렇게 하기 위해서 뭔가를 한번 조금
구체적으로 계산해 보자



.



서울에서 부산까지 가는데



,



우리가 경부고속도로를 맘대로 정하고



,



또한 각 구간별 제한속도까지도 맘대로
정할 수 있다고 하자



.



어떻게 하면 가장 효율적으로 도로를
설계할 수 있을까



?



전설에 의하면



,



박정희 대통령이 대한민국 전도를
보고서



,



큰
자를 서울과 부산 위에 놓고



,



수성사인펜으로 직선을 그어서 현재의
경부고속도로의 설계가 완성되었다는 얘기가 있다



.



굳이 이런 말도 안되는 전설을 들먹이지
않더라도



,



상식적으로
직선으로 그어준다면 가장 좋을 것이다



.



그리고 거기에 제한 속도는 안전 운전이
가능한 최고속도로 정해준다면 더할 나위 없이 좋을
것이다



.



이정도
얘기는 물리학을 싫어하더라도 이해할 수 있을 것이다



.



하지만 왜 직선이어야 하는지



,



그것은 아무도 이야기해주지 않는다



.



강원도 지방을 돌아서 가면 뭔가 손해가
나는 걸까



?



바다를
보면서 가면 안됩니까



?

예를 들어서



,
100kg



의 자동차가 초속



100m/s



의
속력으로 달려간다고 하는데



,



경부고속도로가 직선으로 가는 경우와
강원도를 거쳐서 가는 경우를 생각해 보자



.



일단 고속도로 위에 차는 내차 한대밖에
없기 때문에 길이 막히는 일은 없다고 하자



.



아니



,



상식적으로 봐도



,



멀리 돌아가면 기름이 더 많이 들어가지
않을까



?



더
멀리 돌아갔는데 기름이 더 적게 들어간다는 상황은



,



웬만해서는 상상하기 힘들다



.



무엇이 기름을 더 많이 들어가게 한
것일까



?



더
오래 걸렸기 때문일 것 같다



.



가장 기름을 적게 들어가도록 하려면



,



어떤 경로를 선택해야 할까



?

(



다음
글에 계속



…)

(



기름
소모량과



Action



사이의 관계에 대해 생각중입니다



.)

그림 :

http://wpcontent.answers.com/wikipedia/en/8/83/LogLogPlot_of_Line.GIF


로그 눈금을 읽고 싶은데, 화살표로 표시한 부분에는 눈금이 없다. 하지만 그렇다고 중간쯤 있다고 해서 그냥 0.5 정도로 칠 수도 없다.

이럴때는, 자를 이용할 수 있다.

예를 들어서, 위에 화살표로 표시한 부분의 x좌표를 읽고 싶다고 하자.

A라는 값을 10과 100사이의 거리로 둔다.

B라는 값을 10과 화살표로 표시한 부분 사이의 거리로 둔다. 이 두가지 거리는 자를 이용해서 재면 된다. 자가 없으면 모니터 화면에서 픽셀 수로 측정하든, 어림잡든, 아무튼 같은 단위로 재기만 하면 된다.

그럼 r이라는 값을 r=B/A 라고 정한다.

x좌표의 값은 이제 10^{(1+r)}이 된다.

참 쉽죠?

연습문제 : 위 그래프의 y축은 로그 눈금으로 100000단위만큼씩 떨어져 있다. 이 경우에는 도대체 어떻게 읽어야 할까?

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추가

1과 10 사이에 있는 값을 읽고 싶은 경우에도 마찬가지로 r을 일단 찾아서 계산하면 된다. 여기서 r이 제공하는 것이 로그의 ‘가수’ 부분임을 생각하면 쉽게 알 수 있다. 지표가 0이고 가수가 r인 로그의 원래 값을 찾으면 되므로, 10^r이 답이 된다.

0.1과 1사이에 있는 값이라면 10^{-1+r}이 된다.

그렇다. r앞에 더해주는 값은 ‘지표’ 부분이고(로그값의 정수부분) r은 ‘가수’가 된다.(로그값의 소수부분)

이건 고등학교 수학에서 배우므로 정석을 다시 찾아보자.

올림픽도 끝나가고 하면서, 외국에 나가서 선전하고 있는 우리나라의 대표 선수들을 보며 사람들은 “나도 할 수 있어!”라고 하는 꿈과 희망을 품는다. 그건 좋은 일이다. 하지만, 그러면서 동시에 떠오르는 질문이 있다. 왜 선수들을 보면서 희망을 품을 수밖에 없을까? 국가대표 선수들이 부진하더라도 희망을 가질 수 있지 않을까?

김연아 선수가 금메달이 아니더라도, 메달을 따지 못했더라도, 나는 잘 하면 되는거 아닐까?

희망을 자기 자신의 내면에서 찾을 수 있을 것 같다. 굳이 다른 사람을 보면서 희망을 갖지 않더라도.