1
리터에
10km
를 가는 자동차가
있다고 하자
.
이
자동차로 서울에서 부산까지
500km
를
달려간다
.
필요한
기름의 양은
50
리터일
것이다
.
그런데
,
강릉까지
200km
를
가고
,
강릉에서 부산까지
400km
를 간다고 하자
.
그렇게 되면 필요한 기름의 양은
60
리터가
된다
.
하지만
,
1
리터를 갖고 갈 수 있는 양이 항상
10km
로
정해지지는 않는다
.
차를
달리다 보면 빠르게 달리기도 하고 느리게 달리기도
하는데
,
그런 상황에서
공기저항이 차가 달리는 것을 방해하고 이것은 차의
연비를 나쁘게 할 것이다
.
기름을 태워서
나온 에너지
*
엔진
효율
=
공기저항이
한 일
+
그 외의
마찰력이한 일
이때
,
그 외의 마찰력이란 자동자 자체가 갖고
있는 마찰력인데
,
거의
대부분이 미끄럼 마찰력이기 때문에 그 크기가 일정하다
.
공기저항의 크기는 대체로 속력에 비례하는
항과 속력의 제곱에 비례하는 항이 있다
.
엔진효율은 단순히 상수이므로
,
여기서는
1
로
가정해도 무방하다
.
잘 생각해보자
.
공기저항
+
마찰력
= $f(v)$
라고
하자
.
여기서 마찰력은
상수이므로 속력의 함수로 생각해도 문제가 없어서
$f(v)$
안에 그냥 넣어준다
.
힘이 한 일
=
$\int f(v) ds = \int f(v)\frac{ds}{dt} dt = \int f(v)v dt = \int L(v)
dt$
이쯤 되니까
,
속력에 대한 적당한 함수를 시간에 대해서
적분한 함수라고 생각해 버리게 되었다
.
이게 가능한 이유는
,
속력
v
는
위치에 대한 함수이고
,
위치는
다시 시간에 대한 함수가 되기 때문에 연속해서 미분을
적용할 수 있기 때문이다
.
대충
넘어간다
.
아무튼
,
다음과 같이 위의 식을 다시 써보자
$S
= \int L(v(t))dt $
이제
S
라는
값을 최소화 시키는 것이 우리의 목표가 된다
.
근데
,
잠시
헛소리를 해 보자면
,
마찰력이
속력에 대해서 변할 수 있겠지만
,
또한 위치에 따라서 변할 수도 있다
.
그냥 그렇다 치자
.
(
그럴듯 하지 않은가
?)
그럼 위의 식은 다시 다음과 같이 변한다
.
$S=\int
L(v,x;t)dt$
여기서
$L(v,x;t)
라는 것은
$v=v(t)$, $x=x(t)$
라는
것을 의미한다
.
이제 어쩔텐가
.
S
를 최소화 시키면
,
가장 싸게 먹히는 방법을 찾아내는 것이다
.
기름이 부족한 우리나라에서 이런 식으로
기름을 절약할 수 있는 방법을 알아낸다면 멋질것 같지
않은가
?
이제 어떻게
하면
S
를 최소화 할
수 있는지 생각해 보자
.
여기서
,
우리가 바꿀 수 있는 것은
x(t)
뿐이다
.
출발지점과 도착지점은 정해져 있고
,
언제 어디에 있느냐만이 오직 우리의 유일한
자유일 뿐이다
.
물론
x(t)
를 미분하면
v(t)
도 정해지는 것이기
때문에 굳이 부연설명하지는 않겠다
.
여기서 소개할
방법은 변분법
(Calculus of
variations)
이다
.
Calculus
를 충치로 아는 사람도 있기
때문에
(
치과의사들
)
”
변화들의 충치
”
로
해석하는 실수를 하지 않으려면 우리나라에서 뭐라고
부르는지 알아 두자
.
변분법은 원래
이해하기 어려운 것이다
.
하지만
그 결과로 유도되는 식은 이해하기 쉽고
,
쓰기도 편하다
.
심지어
변분법이 뭔지 이해하지 못해도 그냥 외워서 쓸 수
있다
. (
수리물리학
교과서가
Formula book
으로
사용되는 이유이다
.)
변분법의 핵심은
,
”
우리가 이미 답을 안다
”
고
가정하는 것이다
.
모르잖아
?
이렇게 반문한다면 어쩔 수 없지만
,
언젠가 답을 알게 되지 않을 것이냐는 말이다
.
아무튼
,
답을
안다고 하자
.
그리고
그 답을
$x(t)$
라고
하자
.
그럼
,
이제
”
답이
아닌
”
다른 것들을
생각해 볼 수 있다
.
그것들을
$x(\alpha, t)$
라고 하자
.
이때
, $x(0,t)=x(t)$
인
성질을 갖고 있다
.
그럼
이제 이 오답을 다음과 같이 써볼 수 있겠다
.
$x(\alpha,t)=x(t)+\alpha
\eta (t)$
일단 이렇게
써놓은 함수가
$x(0,t)=x(t)$
라는
성질을 만족한다는 건 분명하다
.
그리고
,
우리는
언제나 출발지점과 도착지점을 정해놓고 있기 때문에
,
$\eta(t)$
는
출발할때와 도착할때에는 항상
0
이
되어야 한다
.
이제 이걸 위의
S
에
대입하자
.
$S(\alpha)=\int
L(v,x;t)dt = \int L(v(\alpha,t),x(\alpha,t);t)dt $
$x(t)$
가
답이 될 때
, S
는
최소값
(
부호를
바꿔주면 최대값
)
을
가진다는 사실을 알고 있다
.
그리고
$x(t)$
가
답이 되는 경우는
$\alpha=0$
이라는
것도 알고 있다
.
최대
/
최소문제를
해결할 때 가장 좋은 방법은 미분해서
0
이
되는 지점을 찾는 것이다
.
미분해서
0
되는
지점을 찾는 것이 최대
/
최소
문제의 해결법이라는 것은 고등학교때
,
미적분을 처음 배우면서 나타난 최초의
예제이다
.
미분
해보자
.
수식은
조금 골치아프지만, 일단 해봐야 하는데, 다음편에서 계속…
수식 쓰다 지친다.
댓글 남기기