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분배함수를 이해했으면, 에너지 등분배 정리를 유도할 수 있다.

에너지 등분배 정리란, 자유도 마다 $kT/2$의 에너지가 주어진다는 것이다.

음…

어쨌든, 분배함수에서 에너지의 평균값을 불러오면 된다.

이때, 에너지는 어떤 숫자의 제곱 형태로 표현된다고 하자. 즉, x라는 변수(위치, 속력, 각속도, 기타 등등…)의 제곱이 에너지에 들어가 있다. 운동에너지가 대표적으로 그렇게 표현된다.

$Z=\int_\infty^\infty exp(-\beta A x^2)dx$

대충 그렇다 치고, 그렇게 되면 적분은 쉬워진다. 열심히 적분을 하면 (이 적분의 계산에 대해 궁금한 사람은 댓글로 질문을 남기기 바란다.)

$Z=\sqrt{\frac{\pi}{A\beta}$

이렇게 된다. (신기한 적분의 세계다…원주율이 왜 나왔을까요? ㅋㅋ)

이제, 로그 취하고 미분하자. 이때 E는 x라는 변수에 관한 에너지이다.

$=(\partial/\partial\beta)ln(Z)=\frac{1}{2\beta}=\frac{1}{2}kT$

툭 튀어나왔다. 즉, 변수 x에 대한 에너지는 $\frac{1}{2}kT$로 주어진다. x가 여러개 있으면 에너지의 종류도 그만큼 여러개 있는 거고, 각각이 $\frac{1}{2}kT$만큼의 에너지를 갖고 있으므로 n개의 변수가 있으면 $\frac{n}{2}kT$이 된다. 물론 변수의 수는 주어진 문제를 풀기 위해 필요한 변수의 수가 될 것이고, 따라서 문제를 풀어야 하는 계의 자유도가 된다.

이제, 분배함수를 어디다 쓰는지 알아보자.

일단…

$Z = \sum exp(-\beta E_i)$

잘 째려보자. 저건 그냥 확률을 다 더한 값이다. 그리고 에너지가 들어가 있다.

i번째 상태에 해당하는 어떤 물리량 $a_i$가 있다고 해 보자. 그럼 $a_i$의 평균은 확률을 곱해서 다 더하면 된다.

$=\sum P(i)a_i$

그런데

$P(i)=exp(-\beta E_i)/Z$

라고 했다. 따라서

$=\sum exp(-\beta E_i)a_i/Z$

이렇게 된다.

아직 감이 잘 안온다. 에너지의 평균값을 구해보자.

$=\sum exp(-\beta E_i)E_i/Z$

흠…뭐지?

아주 잘 째려보면, 다음과 같이 써도 된다는 걸 알 수 있다.

$=-\frac{\partial}{\partial\beta}ln(Z)$

잘 이해가 안되면 직접 Z를 대입해서 미분해 보면 된다.

에너지의 분산도 구할 수 있다. 그냥 한번 더 미분하면 된다.

$<\Delta E^2>=\frac{\partial^2 ln(Z)}{\partial^2 \beta}$

열용량은 온도 변화에 따른 에너지의 변화율이므로 온도로 미분하면 된다 온도는 $T=1/(k\beta)$ 로 표시된다.

$C=\frac{\partial }{\partial T}$

그 유명한 엔트로피도 여기서 구할 수 있다.

$S=\frac{\partial}{\partial T}(kT*ln(Z))$

즉, 분배함수만 알면 열역학에서 쓰는 거의 모든 종류의 값들을 다 알아낼 수 있다는 것이다.

따라서 마법과 같은 함수가 된다.

지난번 1부에서

$W=\frac{n!}{k_1!k_2!…k_n!}$

라고 했다. W는 대체 무슨 뜻인가? W는, n개의 입자를 N개의 상태에 $(k_1, k_2, k_3, …, k_N)$개씩 넣어서 채워 넣는 방법의 가지수이다. 모르겠으면 직접 세어 보기를…

그리고 에너지랑 입자의 수가 보존된다고도 했다.

이제, 아주 많은 $(k_1, k_2, k_3, …, k_N)$의 가능한 경우 중에서, 어떤 것이 W가 가장 큰 경우일지 알아내야 한다. 이걸 알아내는 것은 중요하다. 왜냐하면, 그것이 바로 가장 그럴듯하게 있을 법한 경우이기 때문이다. 예를 들어 보자. 호텔에 방이 아주 많이 있다. 1층부터 10층까지 있다고 하자. 여기에 100명의 손님이 왔다. 각 층마다 몇명씩 들어가 있는 것이 자주 발생할까? 가장 자주 발생하는 경우가 가장 자주 발견되지 않을까?

가령, 각 층마다 몇명씩 들어가 있는, 그런 가능한 경우의 수가 모두 100만개라고 하자. 그런데 1억번을 관찰했는데, 1억번중에서 9천만번이 어떤 1개 상태만 관찰되었다면, 바로 그 상태가 가장 자주 발생하는 상태라고 할 수 있지 않을까?

이부분을 정확히 이해해야 한다. 통계 역학의 가장 기본이기 때문이다.

주사위가 1개 면은 1이 써있고, 5개 면은 2가 써 있다고 하자. 이 주사위는 많이 던져도 대부분 2가 나올 것이다. 물론 1/6의 확률로 1이 나오겠지만. 아무튼, 전체 가능한 6가지 경우 중에서 2는 5가지 경우를 차지하고 있다. 바로 이것이다. 모든 가능한 W의 경우 중에서, 가장 경우의 수가 많은 상태 배치가 가장 자주 발견되는 경우이고, 실제로 물리 현상에서는 오직 그 경우밖에 관찰되지 않는다. 숫자가 워낙 크기 때문이다.

하지만 W는 너무 크다. W는 진짜로 엄청나게 큰데, n에다가 100000정도의 수를 넣으면, W는 대략 40만 자리수의 수가 된다. 하물며, 실제 세계의 입자 수는 10000000000000000000000개보다 훨씬 많다. 이 경우 W는 5000000000000000000000자리의 수가 된다. 5000000000000000000000도 아니라, 5000000000000000000000개의 숫자를 쓰는 수다. 컴퓨터에 저장해볼 수도 없다. 실제 세계를 표현하려면 그보다 더 큰 숫자가 필요하다. 따라서 W를 직접 계산하는건 어떻게 시도해볼 수도 없다. 그래서 사람들은 로그 함수를 사용한다. W가 최대값인 경우는 W의 로그값도 최대가 된다. (의심가면 직접 증명해볼 수도 있다.)

W의 로그값을 최대로 만드는, 그런 상태 배치를 찾아내는 것이 관건이라는 것이다. 그런데 문제는 제한조건이다. 그래서 경우의 수를 바꾸지 않으면서 제한조건을 넣는 방법을 생각해 보자.

$f(k_1, k_2, …, k_N)=ln(W)+\alpha(n-\sum k_i)+ \beta(E-\sum k_i E_i)$

여기서 $\alpha$하고 $\beta$는 그냥 숫자다. n은 알다시피 전체 입자의 수이고 $k_i$는 i번째 상태에 들어가 있는 입자의 수를 나타낸다. E는 전체 에너지의 크기이고, $E_i$는 i번째 상태에 입자가 들어갔을 때, 그 입자가 갖게 되는 에너지의 크기이다. 잘 생각해 보면, 전체 입자 수에서 각각의 입자 수를 모두 더한 것을 뺐으니 0이 되고, 전체 에너지에서 각각의 상태에 들어간 에너지를 뺐으니 역시 0이 된다. 따라서 어떤 함수 함수 f의 크기는 변하지 않았다. 우리는 그냥 0을 더했을 뿐이다.

그리고 W를 근사시켜야 한다. 스털링의 멋진 공식을 쓸 차례다.

$ln(n!)=n*ln(n)-n$

물론 정확한 식은 이게 아니지만, 어차피 대충 해도 결과는 맞는다. (그게 바로 통계역학의 신비. 정확히 계산하든 대충 계산하든 답은 같다.)

f에 스털링 공식을 적용하고, 로그 안에있는 숫자의 곱은 로그 바깥으로 빼서 덧셈으로 바꿔줄 수 있다는 성질을 활용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

$f(k_1, k_2, …, k_N)=n*ln(n)-n-\sum (k_i*ln(k_i)-k_i)+\alpha(n-\sum k_i)+ \beta(E-\sum k_i E_i)$

대충 덧셈끼리 정리해 주면 다음과 같이 변한다.

$f(k_1, k_2, …, k_N)=n*ln(n)-n+\alpha n+\beta n -\sum (k_i *ln(k_i)-k_i-(\alpha+\beta E_i)k_i)$

좀 복잡하지만 노트에 다시 정리해서 적어두기 바란다.

어쨌거나, 공식은 복잡하지만 우리는 저걸 미분해야 한다. 왜냐하면, 미분해서 0되는 지점이 바로 극대값 또는 극소값이 되기 때문이다. 극대인지 극소인지는 잘 몰라도, 어쨌든 미분하자. 이때, 각각의 상태에 들어간 개수인 $k_i$에 대해서 전부 극대값이 나와야 하므로, 편미분을 써야 한다. 편미분은 특정한 변수 1개만 빼고 나머지는 상수로 취급하는 미분법이다.

$\frac{\partial f}{\partial k_i} = -ln(k_i)-(\alpha+\beta E_i)=0$

갑자기 항이 많이 줄어들었다. 왜냐하면 $k_i$에 대한 미분이므로 n에 관한 항은 전부 상수 처리되어서 사라졌기 때문이다. 덧셈도 모두 사라졌다. 왜냐하면 $k_i$에 대한 미분이므로 특정한 항이 아니면 전부 상수 처리되어서 사라졌기 때문이다.

이제, 문제를 풀면 금방 알 수 있다.

$k_i = exp(-(\alpha+\beta E_i))$

뭔가 보이나?

잠시 편하게 묶어주면 다음과 같다.

$k_i = exp(-\beta(E_i-\mu))$

여기서 $\mu$는 화학적 위치에너지라고 부른다. 잠깐! 화학이 왜 튀어나와?

그건 나도 모른다. 아무튼, 중요한건 과학자들은 그 숫자를 이름붙여서 “화학적 위치에너지(Chemical potential)”이라고 부른다는 거다. 나중에 다른 과학자들과 오해 없이 의사소통하려면 그 단어가 그 개념인 것을 알아 두자. 참고로, 저 항은 입자의 수가 보존된다는 성질에서 나왔다는 것을 기억해야 한다. 따라서 화학적 위치에너지가 변한다면 입자의 수가 변하게 된다는 것을 뜻한다.

저것은, 사실상의 i번째 방에 $k_i$개의 입자가 들어가 있을 확률에 해당한다. 그러려니 하자. $k_i$를 전부 더하면 n이 되어야 하므로

$k_i=n*exp(-\beta E_i)/Z$

라고 쓸 수 있다. 여기서 Chemical potential은 약분당했다는 사실을 인식하기 바란다. 그리고 Z는 1부에서 설명했던 분배함수이고, 다음과 같이 쓴다.

$Z=\sum exp(-\beta E_i)$

만약 상태가 연속적으로 변한다면 덧셈이 아니라 적분으로 바뀌긴 하지만, 그래도 개념이 바뀌는건 없다.

그런데 이게 왜 마법의 분배함수냐고?

그건 3부에서…

물리학을 공부 하다보면, 뭔가 사기를 당하는 느낌이 드는 과목을 마주치게 된다. 바로 통계물리학이다.

“어? 이래도 돼?”라는 생각이 들 정도로 근사값 계산을 많이 한다. 하지만 입자 수가 너무 많기 때문에 그래도 정확하다는 것이 특징이다.

일단 생긴걸 보자.

$P=Zexp(-\beta E)$

참 쉽게 생겼다. 저기서 $Z$는 $\sum P = 1$로 만들어 주는 상수이다. 대략

$Z_0=\frac{1}{\sum exp(-\beta E)}$

$\beta$는 어떤 숫자인데, 물리학에서는 “온도”라는 개념의 역수이다. 즉,

$\beta=\frac{1}{kT}$

이때 $T$는 “온도”라고 부르고, $k$는 볼츠만 상수이다. 저 “온도”가 우리가 뜨겁다/차갑다는 개념을 나타낼 때의 바로 그 “온도”라고 생각해도 된다. 하지만 그보다 좀 더 포괄적인 의미에서의 온도가 될 수도 있으므로 그냥 그런 숫자가 있나보다 하면 된다.

$E$는 “에너지”다.

분배함수는 왜 저렇게 생겼을까?

분배 함수를 유도해보도록 하자.

…그런데, 그냥 유도하려고 하니, 참 뜬금없다. 대체 저걸 어디다 쓰는 건지 먼저 알아두는 것이 좋을 것 같다.

이후, 나는 이 글을 읽는 독자가 수를 셀 줄 안다고 가정하겠다. 아주 침착하게, 꼼꼼히 셀 수 있기만 하면 된다.

물리학은 세상에서 일어나는 현상을 설명하는 학문이다. 그리고 이 세상에 있는 모든 사물은 “기본 입자(원자, Atom)”라고 부르는, 아주 작은 것들이 모여서 이루어져 있다. 그런데 다들 알다시피 이 기본입자는 엄청나게 많다. 너무 가벼워서 손 위에 올려봐야 있는지 없는지를 알 수도 없을만큼 작은 먼지가 1조*1조*10억개 정도의 원자로 구성되어 있다. 이렇듯 입자 수가 아주 아주 아주 많은 경우, 그 입자들이 무슨 짓을 하는지 각각에 대해서는 절대로 알아낼 방법이 없다. 한두개 정도야 측정하면 된다. 백개? 많이 노력하면 어떻게든 되겠지. 1조*1조*10억개? 그건 방법이 없다. 따라서 입자 각각의 움직임에 대해서는 알 수 없으므로, 전체적으로 어떻게 움직이는지라도 알아내야 하는데, 여기에 사용되는 것이 “통계”이다. 그리고 통계의 기본은 확률이다. 이것이 곧 통계 역학의 시작이 된다.

몇가지 물리학적인 말을 정의하고 넘어가야 한다. 우선 우리는 “입자”를 다룰 것이다. 입자라는 것은 각각이 구별되는 공 같은 것이다. “상태”라는 것은 그 입자에 대해서 우리가 알 수 있는 정보를 뜻한다. 위치, 속도, 회전속도, 기타 등등…

“에너지”라고 부르는 것이 있다. 그게 뭔지는 정확히 모르지만 “상태”를 알면 에너지도 알수 있다. 에너지는 그냥 뭔가를 알려주는 숫자라고 생각하자.

가장 기본적인 가설은, “어떤 입자도 특별히 어떤 특정한 상태를 선호하지 않는다”는 가설이다. 예를 들어, 정육면체 주사위를 던졌을 때 나오는 숫자를 상태라고 해 보자. 이때의 “입자”는 “주사위”가 된다. (앞서 “상태”를 정의할 때, 우리가 입자에 대해 알 수 있는 정보라고 했다. 정보이기만 하면 그게 속력이든 주사위의 숫자든 상관 없다)

주사위의 여섯개의 면 중에서, 1이 나올 확률이 4가 나올 확률보다 클까? 작을까? 3이 나올 확률은?

주사위를 잘못 만들지 않았다면, 정육면체 주사위에서는 각각의 숫자가 나올 확률이 같다.

아무튼, 입자는 그냥 무심한듯 시크하게 아무 상태에나 들어가 있다. (상태 안에 들어가서는 무슨 짓을 하든 신경쓰지 않는다고 하자. 이것은 Degeneracy와 관계가 있는데, 우린 그런거 무시한다고 가정한다. 굳이 따지고 싶으면 어떻게 따져보면 좋을지 잘 “세어” 보면 된다.)

이제, 입자는 n개가 있고, 상태는 N개가 있다고 하자. 입자에는 1부터 n까지 번호가 매겨져 있고, 상태에도 1부터 N까지 번호가 매겨져 있다.

n개의 입자 중에서 1개를 고르는 방법의 수는? n개이다. 그럼, 순서를 신경 써서 2개를 고르는 방법의 수는? n(n-1)개다. 3개는? n(n-1)(n-2)개다. 그래. 다 안다. 고등학교때 배운 확률 이론 – 순열, 조합.

n개에서 k개를 고르는 방법의 수는 n!/(n-k)!개 이다. !는 Factorial이라는 것이다. 모르면 검색…

자. 이제 N개의 방 중에서, 1번 방에 $k_1$개, 2번 방에 $k_2$개…이런 식으로 N번 방까지 채우는 방법의 수는?

$W=\frac{n!}{k_1!(n-k_1)!}\frac{(n-k_1)!}{k_2!(n-k_1-k_2)!}…\frac{(n-k_N)!}{(n-k_N)!0!}$

좀 복잡하지만, 잘 보면 약분되는게 아주 많다. 그래서 잘 보면 다음과 같이 된다.

$W=\frac{n!}{k_1!k_2!…k_N!}$

잘 세고 있는가?

이제, 다음 단계로 넘어가자. 우리는 지금 “닫힌 계”를 다루고 있다. 이게 무슨 소리냐면, 우리는 방금 상태에 들어간 입자를 세면서 바깥에서 입자를 더 추가하거나, 또는 입자를 꺼내지 않았다는 뜻이다. 즉, 입자의 수는 보존되고 있다. 또한, 입자를 상태에 넣거나 뺄 때 우린 전혀 건드리지 않았다. 입자가 저절로 알아서 상태에 들어가 있는 것일 뿐, 우린 발끝도 댄 적이 없다. 따라서 에너지도 보존된다.

입자의 수도 보존되고, 에너지도 보존되면서, 입자들이 어느 상태에 몇개씩 들어가 있는게 가장 있을 법할까? 물리학자들은 “가장 그럴듯한 배치”를 “canonical ensemble”이라고 부른다. 한국어로 뭐라고 하는지는 모르겠다. 아무튼, 입자 각각은 자기 맘대로 아무데나 들어가 있고 싶지만, 입자의 수도 보존되고 에너지도 보존되기 때문에 전체적으로 입자들이 배치되는 것에는 어떤 경향성이 보이게 된다.

(글이 너무 길어서 잘라야겠다. 2부에서…)

물리학과에 내려오는 전설 중에, 플라즈마로 표면을 처리하면 모든 특성이 다 좋아진다는 것이 있다.

가령, 안경에 플라즈마를 때려주면 경도가 올라가서 긁히지도 않고 표면의 성질이 변해서 습기가 잘 차지 않고 때도 잘 묻지 않는다는 것이다.

그리고 오늘, 그 플라즈마 처리를 직접 실험해 보았다.

일단 긁히는지 여부는, 긁어볼 도구도 없고 용기도 없어서 확인 못했다.

습기가 잘 차는 것 같지는 않다. 입김을 불어봤는데, 처리하기 전에 비해 절반 정도로 줄어든 것 같다.

때는 묻어봐야 알 듯.

내가 고장난건지 장비가 고장난건지…-_-

내가 지금 하는 실험은 박막을 만드는 것이다. 박막을 만들어서 두께를 재면 된다. 박막을 만들때는 Spin coating이라고 해서, 시약을 기판 위에 올리고 빠른 속도로 회전시키면 뚝딱 만들어 진다.

1.

월요일날 만든 박막의 두께를 재려고 했다. 두께를 재는 방법은 두가지가 있는데, 그중 하나는 광학적 두께를 측정해서 실제 두께로 환산하는 것이다. 광학적 두께는 빛을 쏴서 얼마나 어두워지는지 관찰하면 된다.

그런데, 더 빠른 속력으로 회전시켰는데 두께가 더 두껍게 측정되었다. 뭐야…이거.

2.

그래서 어제 박막을 새로 만들었다. 시약도 새로 만들었고. 그래서 다시 광학적 두께를 재려고 했는데…

나는 이번엔 기판을 유리를 사용했다. 유리가 자외선을 통과시키지 않는다는 것은 잘 알려진 사실이다. 따라서 자외선 영역의 광학적 두께는 매우 두꺼운 것으로 보여져야 한다.

그런데 아예 음수가 나와버렸다. -_-; 들어간 빛보다 빠져나온 빛이 더 많다는 건데…

3.

박막을 만들 때, 시약이 기판에 잘 붙고 잘 떨어지도록 하기 위해서 기판의 표면을 플라즈마로 처리한다. 플라즈마 표면처리라고 해서 뭔가 굉장하고 무섭고 그런게 아니라, 작은 상자 안에 처리할 재료를 넣고 돌리면된다.

다만 플라즈마가 잘 활동하도록 하기 위해서 내부를 진공으로 만들어 줘야 하는데, 실험실에 있는 플라즈마 표면 처리기의 압력계가 고장났다고 한다. 그래서 어쩔 수 없이 대충 5분정도 진공을 뽑고 플라즈마 처리를 하는데…

오늘, 그 압력계가 돌아갔다. 고장났다더니…-_-;

아무리 이론 물리학 배우던 사람이라지만, 실험 장비들이 나를 너무 무시하는거 아닌가 싶네…

분명 사용법은 숙지하고 있는데…-_-;

“피할 수 없다면 즐겨라!”

누군가. 이 말을 내뱉은 사람은…

“피할 수 없다면 즐”

http://bbs.pdbox.co.kr:8036/app/index.php?board=pdbox_webtoon_sib


야마꼬 툰

하지만. 나는 이렇게 말하겠다.

숟가락이나 포크는 사용의 편의를 위하여 오목하게 구부러져 있다.

일반적으로 가정에서 사용하는 식탁은 특별히 위생 멸균처리를 하지 않는 한,

식탁과의 접촉면에서 묻게 되는

어느정도의 세균은 감안해야 할 것이다.

소인배님의 지적에 따른 추가 조건 : 그리고 먼지는 위에서부터 내려앉는다.

문제 : 별다른 받침이나 특수한 설비가 없다고 하면, 어느쪽을 위로 두는 것이 위생적인가?

가끔 친구들의 메신저 대화명을 보다가, “덤벼라 세상아!”라는 자신감 넘치는 문구를 보았다.

하지만.

세상은 자네에게 덤비지 않아.

자네가 덤비지 않으면 아무도 자네에게 도전하지 않는다네.

요즘 실험 재료 구입 때문에 골치가 조금 아픈데…

이 실험재료란, 얇은 박막이다. 대략 10나노미터에서 5마이크로미터까지.

100나노미터짜리 박막을 직접 만들었는데, 1g에 100만원짜리 물질을 유리판에 코팅하고, 그걸 다시 알루미늄 판에 옮겨 붙였다. 물론 1g에 100만원짜리 물질을 전부 다 쓴건 아니고, 진짜로 개미 눈물만큼만 써서 코팅했다.

미국의 업체에서 사오는 박막도 있는데, 이게 바로 10나노미터에서 5마이크로미터까지 다양한 두께를 갖는 박막이다. 1장에 대략 100달러. -_-; (요즘 환율로 15만원…?)

업체에서 제공할 때는 유리판에 붙여서 나오는데, 이걸 알루미늄 판에 옮겨 붙여야 한다. 한장 실패하면 15만원이 그대로 날아가는 셈.

이걸 앞으로 나에게 시킨다고 한다.

…

수전증을 고치든가, 아님 기계 팔을 어딘가에서 구해야겠다.