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악화가 양화를 구축한다.

그레샴이란 사람이 말했다는데, 뭔얘기인지 맨날 궁금해 하기만 하다가 오늘 드디어 구글 검색을 해봤다.

Bad money drives out good.

그렇군. 나쁜 돈이 좋은 것들을내?는다는 것이다.

검색을 좀 더 해보자 여러가지로 적용된 사례가 있었다.

사실 이 얘기는 죄수의 딜레마에서 논의된 것이다. 어느쪽이 원조인지는 모르겠지만, 내 생각에는 이 법칙과 죄수의 딜레마는 같은 맥락에서 이해할 수 있다.

죄수의 딜레마에 나온 여러가지의 사례 중에서 숫사슴 사냥 얘기가 떠올랐다.

숫사슴 사냥의 얘기는, A와 B가 함께 숫사슴을 사냥하러 가기로 했는데 숫사슴은 워낙 크기 때문에 둘이 협동하지 않으면 놓칠 수밖에 없다. 그래서 둘이 사냥을 가는데, 가던 길에 토끼 한마리를 발견했다. 토끼는 혼자서 충분히 잡을 수 있다. 따라서 A와 B는 토끼를 잡으러 가게 되는 유혹을 받는다. 이때 선택은 어떻게 될 것인가?

윌리엄 파운드스톤, “죄수의 딜레마”

따라서 결론은 둘 다 배신하는 쪽으로 결론이 날 것이다.

아무튼 악화는 양화를 구축한다.

웹을 돌아다니다가 발견한 “예제”를 추가한다.


UCC 악용 사례, 강서제일병원 의료사고



블로그 왜 하세요?

자동차에 기름을 넣을 ‹š, 기름을 넣고나서 주유기를 빼낼 때, 잠깐 주유구가 열려있는 시간 사이에 휘발유가 증발해서 낭비된다고 한다. 즉, 기름을 넣는 횟수가 적은 것이 좋다.

자동차에 기름을 많이 넣으면, 차체의 무게가 무거워 지므로 기름을 더 소비하게 된다. 따라서 기름을 넣는 회수가 많은 것이 좋다.

따라서 이 두가지 조건 사이에는 최적의 기름 넣는 간격이 있을 것이다. 구할 수 있는가?

참 뜬금없는 문제다. -_-;

조건을 알아보자.

1. 주어진 차는 전륜구동이다.

2. 주어진 차의 무게 중 70%가 전륜에 가해진다.

3. 타이어와 길의 마찰계수는 0.61이다.

이렇게 3가지 조건만 갖고서 차의 최고속력을 구하랜다.

난감한가?

우리는 여기서 숨겨진 조건 1개가 더 있음을 발견해야만 한다.

4. 위 3가지 조건만으로 문제를 풀 수 있다.

4번째 조건을 가정하지 못한다면, 이 문제는 풀리지 않는다. (당연히…)

우선, 바퀴는 굴러가고 있으므로 조건에 주어진 마찰계수는 최대정지마찰계수라고 봐야 한다. (아니면 차가 드리프트하고 있다는 가정을 해야…-_-; 전형적인 자동차를 운전할만한 전형적인 운전자는 카트 라이더가 아니다.)

그리고 문제에 언급되지 않았으므로 공기저항도 무시하자. 연료 문제도 무시하자. 엔진 자체도 무한정 빨리 돌아갈 수 있다고 하자. 이상적인 상황을 가정해야 한다.

풀이는 감추어 두었다.

더보기

젊어서 열심히 놀지 않으면 평생 제대로 놀아볼 기회가 없고

젊어서 열심히 놀면 평생 놀게 된다.

어쩌라고.

운동상태 – 물체가 갖고 있는 질량과 속도

운동량 – 질량과 속도의 곱

관성 – 물체가 운동상태를 바꾸지 않으려는 “성질”

관성력 – 관성때문에 생기는 힘. 운동량의 시간당 변화율의 반대로 작용함

관성의 법칙 – 모든 물체는 관성을 갖고 있다.

관성계 – 관성의 법칙이 적용되는 관찰 좌표계

관성계는 관성의 법칙이 적용됩니다. 힘을 가하지 않는 한 어떤 물체도 절대로 운동상태를 바꾸지 않죠. 즉, 질량이 바뀌거나 속도가 바뀌지 않는다는 뜻입니다.

일정한 속도로 달리는 버스 안에서 있는 관찰자는 관성계에 있는 관찰자입니다. 하지만, 갑자기 멈추는 중인 버스는 더이상 관성계가 아니게 되죠. 아무도 힘을 작용하지 않았지만 앞으로 쏠려가게 되며, 따라서 버스에 대해서 속도가 변하므로 운동상태가 바뀌는 것이죠.

관성력은 관찰자에 따라 있기도 하고 없기도 하는 힘입니다. 가령, 버스 바닥이 매우 미끄럽다고 해 봅시다. 달리던 버스가 멈추게 되면, 그 안에 있던 사람들은 앞으로 미끄러지겠죠. 버스 안에서 보면, 가만히 있던 사람이 앞으로 가게 되므로 관성력이 작용하는 겁니다. 하지만 버스 바깥에서 보면 앞으로 가고 있던 사람들이 여전히 앞으로 가고 있으므로 운동상태가 변하지 않았고, 따라서 관성력은 작용하지 않습니다.

이어서 가속도의 법칙에 대한 질문이다.

그래서 정리하였다.

가속도의 법칙은 관성의 법칙의 확장판입니다. (일반화 시켰다고 할까요. 특수상대성 이론과 일반 상대성 이론의 관계와 비슷하죠)

우선 복습…

관성의 법칙은 “외부에서 힘이 작용하지 않는다면, 물체는 반드시 그 운동상태를 유지한다”는 법칙입니다. 이 법칙은 반대로 “물체가
운동상태를 유지하고 있다면, 그 물체에는 절대로 외부에서 힘이 작용하지 않는 것이다”라고 쓸 수도 있습니다.

이 법칙에서, “~~하지 않는”이라는 부분을 바꾼다면 어떻게 될까요

“물체가 운동상태를 유지하지 않는다면, 그 물체에는 외부에서 힘이 작용하고 있는 것이다”

마찬가지로

“물체에 외부에서 힘이 작용한다면, 그 물체는 절대로 운동상태를 유지할 수 없다”

여기서. 운동상태는 관성의 법칙에 나온 것과 마찬가지로, 질량과 속도의 곱이 됩니다. 질량이 변하지 않는다고 하면, 속도가 변할 수밖에
없겠죠.

따라서, 외부에서 작용하는 힘은 속도의 변화로 나타납니다. 이것이 가속도의 법칙입니다.

과학자들은 이것을 좀 더 자세히 보기 위해서 공식으로 쓰게 됩니다.

가장 간단한 공식은 1차 함수죠.

외부에서 작용하는 힘 = (운동상태의 변화율)의 적당한 몇 배

그런데, 운동상태는 질량과 속도의 곱이므로

외부에서 작용하는 힘 = ((질량과 속도의 곱)의 변화율)의 적당한 몇 배

질량이 변하지 않는다고 하면

외부에서 작용하는 힘 = (질량과 (속도의 변화율)의 곱)의 적당한 몇 배

속도의 변화율 = 가속도

외부에서 작용하는 힘 = (질량과 가속도의 곱)의 적당한 몇 배

여기까지만 해도 되겠으나, 대체 몇배인지 알 수 없다면 공식을 사용할 수 없겠죠. 뉴턴의 법칙은 “적당한 몇 배”를 “1배다”라고 선언한
겁니다. (그 적당한 몇배가 대체 몇배인가…이건 맘대로 정해도 됩니다. 단, 다른 과학자들은 모두 “1배”를 사용하고 있으므로 다른
과학자들이랑 대화를 하려면 다른 과학자들에게 맞춰주는 것이 편하겠죠.)

이걸 영어로 쓰면

F=ma

F: 힘 / m:질량 / a:가속도

대충 이렇게 됩니다. 참고로, 이건 “법칙”이기 때문에 무조건 맞는 거고, 따라서 이 법칙이 왜 성립하냐고 묻는건 의미가 없습니다.

틀렸다고 생각하면, 틀렸다고 얘기해도 됩니다. 단, 그 경우에는 F=ma라는 공식이 언제 어디서 어떻게 얼마만큼 틀린지 정확히 말하지
않으면 무시당하겠죠.(다른 과학자들은 다들 F=ma가 올바른 법칙이라고 생각하니까요)

제일 앞 부분에서 1차 함수를 썼는데, 2차 함수나 3차 함수 같은걸 쓰고 싶으면 써도 됩니다. 단, 그 경우에는 왜 그걸 썼는지, 그리고
그 공식이 얼마나 정확한지도 말해줘야겠죠. 지금까지는 1차 함수를 썼을 경우가 가장 잘 맞았습니다. (뉴턴도 바보가 아니었기 때문에, 1차
함수를 썼던 거죠.) 그리고, 1차 함수가 아니었다면 우리는 물리 문제를 단 1개도 제대로 풀기 어려웠을 겁니다.

*여기에 설명된 FFT는 단순히 개념만을 설명하고 있다. 실제적인 알고리즘은 좋은 책과 인터넷 검색을 활용하여서 정확한 내용을 이해한 후에 사용하여야 한다.

푸리에 변환은 현대 공학에서 아주아주아주 다양한 범위에서 응용되는데, 그것은 실제 세상을 분석하는 실질적이면서 강력한 도구이기 때문이다. 하지만 앞서 얘기했듯, 푸리에 변환은 적분에 관한 문제이고 적분을 잘 하는 것은 아주아주아주 어려운 문제이다. 그러므로 이것은 대단히 힘든 일이 된다. 적분은 누구에게나 어려운 일인데, 하물며 수식을 이해조차 못하는 컴퓨터가 어떻게 푸리에 변환을 할 수 있을까? 그래서, 연속체에 관련된 적분 문제를 컴퓨터도 잘 할 줄 아는 단순한 덧셈으로 바꿔서 비교적 정확한 푸리에 변환을 하는 것이 DFT가 된다. 하지만 DFT는 N개의 구간으로 나눴을 때 N*N개의 계산을 하는 방법이다. 좀 더 획기적인 방법이 등장하는데, 그것이 빠른 푸리에 변환(Fast Fourier Transform=FFT)이다. 빠른 푸리에 변환은 실제로 N*N번 걸릴 계산을 N*logN번 정도로 줄여주게 된다.

가장 기본적으로, 푸리에 변환에서 사용하는 함수들이 지수함수라는 것을 생각해보자.

$e^{a}*e^{b}=e^{a+b}$

잘 보시라, 지수 함수와 로그 함수의 가장 큰 특징은 덧셈과 곱셈을 서로 바꿔 쓸 수 있다는 것이다. 지수함수에서는 곱셈이 덧셈으로 바뀌고, 로그 함수에서는 덧셈이 곱셈으로 바뀐다. 아무튼 가장 중요한 특성은 지수 밑에 있던 곱셈이 지수 위에서 덧셈으로 변신했다는 사실.

그럼, DFT에 나오는 수식을 잘 살펴보자.

$a_1=f(n2\pi/N)*e^{ik(n2\pi/N)$

저걸 $a_1$이라고 부르자.

그런데 푸리에 변환에서 나와야 하는 것은 함수이므로 k가 변하게 되면 계산을 새로 해야 한다.

하지만 – 간과해서는 안되는 사실이 있다. 저기에 더하기 전에 곱하는 숫자는 바로 크기가 1인 지수함수라는 것. 아무리 곱해도 크기는 변하지 않으며, 그 위상각만 계속 돌아간다. 게다가, 만약 구간을 정수인 N등분 해 놓는다면 k가 커지면서 계산해야 할 계수는 새로 계산할 필요 없이, $e^{i(n2\pi/N)$을 계속 곱해가면서 계산하면 된다.

$e^{i(n2\pi/N)$를 2번 먼저 곱하고 3번 곱하든, 3번 먼저 곱하고 2번 곱하든, 5번 곱했다는 사실은 변함이 없다. 바로 이런 성질을 이용하는 것이다.

우선, 귀찮으니까 $e^{i(n2\pi/N)$를 w라고 쓰고, $w(k)=w^k$라고 하자.

가령, 점이 4개 있다고 해 보자. 0, 1, 2, 3이라는 번호를 붙여보자. 그럼 4개의 점은 x(0), x(1), x(2), x(3)이 된다.

이 점 4개에 대한 이산 푸리에 변환은 다음과 같다

$X(0)=x(0)w(0)+x(1)w(1*0)+x(2)w(1*0)+x(3)w(1*0)$

$X(1)=x(0)w(0*1)+x(1)w(1*1)+x(2)w(2*1)+x(3)w(3*1)$

$X(2)=x(0)w(0*2)+x(1)w(1*2)+x(2)w(2*2)+x(3)w(3*2)$

$X(3)=x(0)w(0*3)+x(1)w(1*3)+x(2)w(2*3)+x(3)w(3*3)$

$w(k+N)=w(k)$인 성질을 이용해서 정리해주면 (이 성질이 가장 중요하다. 이러한 성질이 없다면, FFT는 불가능하고 DFT전체를 계산해야만 한다. 곱셈의 교환법칙과 유한군론의 승리.)

$X(0)=x(0)w(0)+x(1)w(0)+x(2)w(0)+x(3)w(0)$

$X(1)=x(0)w(0)+x(1)w(1)+x(2)w(2)+x(3)w(3)$

$X(2)=x(0)w(0)+x(1)w(2)+x(2)w(0)+x(3)w(2)$

$X(3)=x(0)w(0)+x(1)w(3)+x(2)w(2)+x(3)w(1)$

이 수식을 뚫어지게 쳐다보면, 이미 계산한 항이 여러번 등장하고 있는 것을 확인할 수 있다.

다시말해서, DFT를 계산할 때 저걸 전부 계산한다면 보다시피 N*N번의 계산을 전부 다 해야 한다. 하지만, 반복되는 부분을 잘 알고 있다가, 다음번에 계산할 때 써먹는다면 계산 비용이 절약된다. FFT는 수식을 뚫어지게 쳐다본 사람의 승리라고 할 수 있겠다.

하지만, 아무리 컴퓨터라도 저 숫자들을 다 외우고 있다보면 머리가 아프겠지. (응?)

정확하게는, 짝수항과 홀수항으로 나누고, 그 짝수항과 홀수항으로 나눈 것을 다시 각각 짝수항과 홀수항으로 나누고, 이 것을 반복해서 2항 푸리에 변환이 될 때까지 계속한다. 그 다음에, 조각난 푸리에 변환을 적당히 더해서 전체 푸리에 변환을 완성하게 된다.

$x(0)w(0)+x(2)w(0)$과 $x(0)w(0)+x(2)w(2)$을 계산하고, $x(1)w(0)+x(3)w(0)$과 $x(1)w(1)+x(3)w(3)$을 계산한다.

$E1=x(0)w(0)+x(2)w(0)$

$E2=x(0)w(0)+x(2)w(2)$

$E3=x(1)w(0)+x(3)w(0)$

$E4=x(1)w(1)+x(3)w(3)$

라고 해보자.

$X(0)=E1+E3$

$X(1)=E2+E4$

$X(2)=E1+E3*w(2)$

$X(3)=E2+E4*w(2)$

이렇게 된다.

처음의 DFT에서 16번의 곱셈과 12번의 덧셈이 있었다면, 나의 4점 FFT에서는 10번의 곱셈과 8번의 덧셈이 있게 되었다. 확실히 줄어들었다. (왜 NlogN번이 아니냐고는 묻지도 따지지도 말자. -_-; 숫자가 작아서 그렇다.)

숫자가 적을 때는 그다지 차이가 없지만, 만약 이 숫자가 100만개 정도 된다면 그땐 무시할 수 없는 정도로 차이가 나게 된다.

자. 그런데, 이런 것을 도대체 어떻게 이해하면 좋을까.

gnuplot의 도움을 받아서 다음 그림을 그려보았다.

그림이 좀 흐릿하지만, 대충 보자. 어느쪽이 x축이고 y축인지는 중요하지 않다.

여기서는 sin함수를 계산했지만, 대충 exp(ikx)함수라고 생각하도록 한다. 복소수 삼각함수는 그림으로 그릴 방법이 없다.

x=1인 선을 따라갈 때 생기는 함수를 알고 있을 때, x=2인 선을 따라갈 때 생기는 함수는 어떻게 계산할까? 당연히 제곱하면 된다. (사인공식에도 나오지만, 제곱하면 함수 안의 계수가 2배가 된 다른 사인함수로 변신한다.) 제곱이라는 건 자기 자신을 곱하는 것이다. x=3인 선을 따라갈 때 생기는 함수는, 다시 자기 자신을 한번 더 곱하면 알 수 있게 된다. 잘 보면 알겠지만, x가 1인 선을 따라서, y가 -2에서 2까지 변할 때 생기는 함수는 x가 2인 선을 따라서 y가 0에서 2까지 변할때 생기는 함수와 똑같이 생겼다. 잡아 당겨서 늘려주기만 하면 똑같다.

즉, 삼각함수는 제곱해서 생긴 함수의 일부가 원래의 함수와 같다. (프랙탈…그런건 따지지 말자. 프랙탈 아니다.)

저런걸 함수 f(x)에 곱해서 적분한다고 하면, 삼각함수의 특징을 잘 이용해 줄 수 있게 되는 것이다.

이해 안가는 부분은 댓글로. -_-;

광석 라디오 제작 : 5~6학년 (사실은 6학년~중2 수준이다)

현미경 제작 : 5~6학년 (이것도 중1 수준)

망원경 제작 : 5~6학년 (6학년 수준…)

흠…저학년을 위한 아이템은 없나? 아무래도 찾기 힘드네. 내가 눈이 너무 높은 가보다.

솜사탕 기계를 만들려면, 모터가 맥주캔을 돌릴 수 있어야 한다.

맥주캔의 관성모멘트는 0.000021킬로그램제곱미터다.

문방구에서 판매하는 모터의 제원을 봤더니

전압 : 1.5~3V

적정 부하 : 5.5g-cm

무부하시 회전수 : 8700rpm

부하시 적정 회전수 : 5400rpm

최대 전류 : 780mA

음…

여기서, 적정 부하라는 것은 5.5g-cm인데, 이건 토크를 말한다.

일단 인터넷을 검색해 보자.

http://www.ktechno.co.kr/pictech/motor00.html

내가 필요로 하는 정보가 이곳에 있었다.

난 cgs단위에 익숙하지 않기 때문에, 5.5라는 숫자를 실제 토크의 단위인 N.m으로 고쳐야 겠다. 대충 퉁 쳐서 중력가속도인 10을 곱하고, 0.001을 곱하고. 0.01을 곱하자. 그럼 0.0001을 곱하면 되니까, 0.00055N.m가 된다.

자, 그럼, 이 모터는 알루미늄 캔을 돌릴 수 있을까?

…이런건 어떻게 계산하지?

잘 모르면 대충 계산하자. -_-; 전압을 3V공급한다 치고, 최대전류가 780mA면, 최대 허용 전력은 2.34W다.

그리고 5400rpm은 90Hz에 해당한다. 90Hz는 라디안 단위로는 대략 565.2라디안/초가 된다.

0.000021의 관성모멘트를 갖는 물체를 565.2라디안/초로 회전시키면, 그 운동에너지는 0.0118692J이 된다. 정지상태에서 2.34W의 일률로 0.0118692J에 도달하는데 걸리는 시간은? 나누면 되지…

0.0056초. 예상보다 빠르네.

0.0056초동안 565.2라디안/초에 도달했으니, 그 각가속도는 100928라디안/제곱초가 된다. 토크는 각가속도와 관성모멘트의 곱이기도 하므로, 곱해보자.

그 답은 2.1195가 된다.

따라서, 위의 모터에서 허용 가능한 최대 토크인 0.00055를 3853배나 뛰어넘는다.

…내가 계산을 맞게 한건가? -_-; 아예 틀려버리는데…

아무래도 내일 실험을 통해서 검증해봐야겠다.

(나도 아인슈타인처럼 “실험이 틀렸다면 신이 잘못했겠지. 내 계산은 맞으니까” 라고 말할 수 있는 사람이었으면 좋겠다.)

솜사탕 만들기에 필수적인 깡통.

과연, 그 관성모멘트는 얼마나 될 것인가?

일단, 깡통을 원기둥 껍질(Cylinderical Shell)과 원판 2개로 근사하자.

physics_game_chap01.pdf에 액세스하려면 클릭하세요.

이걸 참고해 보면, 원판의 관성모멘트는 $mr^2 /2$ 이다. (계산할줄 몰라서 인용한 것은 아니다 -_-; 적분하기 귀찮아서…주변에 책도 없고…) 깡통에는 원판이 2개 있으니까 $mr^2 $이라고 하면 되겠다.

원기둥 껍질의 관성모멘트는 $mr^2$이다. 물론 여기서 원기둥 껍질의 m은 껍질 부분의 질량만을 의미한다. 앞에 나온 원판의 m은 원판 부분의 질량만을 이야기한다.

이제, 주 재료인 맥주캔이나 웰치스 깡통의 질량과 반지름을 알아보자.

알려진 정보는 다음과 같다.

밀도 :
2.70 g/cm

^-3

(http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%95%8C%EB%A3%A8%EB%AF%B8%EB%8A%84)

캔의 두께 : 0.13mm (http://www.lotteal.co.kr/4_customer/jo.asp?class=1&p=1&cd=4)

그럼 문제는 깡통의 크기인데.

실측 없이 인터넷으로만 검색하려니 힘들다. -_-; 나중에 자로 재든가 해야지…

http://en.wikipedia.org/wiki/Beverage_can

이걸 참고하면 지름이 65mm다. 즉, 반지름은 32.5

높이는…계산해야겠다. 부피가 380ml짜리면, 여백 생각해서 400ml라고 대충 어림잡고, 1ml는 1000세제곱밀리미터다. 그럼, 400ml는 400000세제곱 밀리미터다. 밑넓이는 32.5*32.5*3.14 = 3317이다. 그럼, 4000000을 3317로 나누면 대충 120mm가 나온다. 12센치미터라는 거다.

이제 맥주캔의 원판 부분의 질량을 계산해 보자. 밑넓이는 3317이고, 두께는 0.13이니까 413.21세제곱밀리미터다. 즉, 0.41321세제곱 센치미터다. 알루미늄의 밀도는 1세제곱센치미터당 2.7그램이니까,

0.1115667그램이 된다. 킬로그램으로 바꾸면 0.001115667킬로그램이다.

깡통의 기둥 부분의 질량을 계산하자. 65*3.14*0.13= 3183.96세제곱밀리미터. 그럼, 대략 원판의 3/4정도 된다. 대충 어림계산하면 0.0008 킬로그램. (이래도 되는지 궁금하면 직접 정확히 계산해도 좋다.)

이제, 관성모멘트를 계산하자. 반지름의 제곱은 0.00105625 제곱미터다. 아, 그런데 이 경우 반지름은 동일하고 질량에만 비례하므로, 결과적으로 전체적인 관성모멘트는 질량에 반지름의 제곱을 곱하면 된다. 뭐여…

대충, 질량이 0.002킬로그램이었으니까, 둘을 곱하면 0.000021킬로그램제곱미터가 된다.

**수식은 인터넷 익스플로러에서는 제대로 표현되지 않음. 파이어폭스 웹 브라우저를 권장함.

직사각형 함수를 푸리에 변환 해보자. 간단하다.

f(x) = 1 if -1 f(x) = 0 otherwise

적분 구간은 원래는 실수 전 구간이지만, 어차피 다른 구간에서는 0이므로, x가 1인 구간에서만 적분하면 된다.

f(x)의 푸리에 변환을 g(k)라고 하면

$g(k) = \frac{-2}{ik} sin(k)$

이 적분을 어떻게 했는지 궁금한 사람은 인터넷 검색을 하시기 바라며…

보다시피, sinc함수가 튀어나왔다. 물론 이 함수는 연속함수다. 이제, 직사각형 함수가 주기적으로 변하는 경우 어떻게 되는지 살펴보자.

f(x) = 1 if 2n-1/2 < x < 2n+1/2 for any integer n
f(x) = 0 otherwise

이런거 적분하려면 좀 골치아플것 같지만, 사실 저 함수는 n에 대해서 잘 정의된 함수의 무한급수다. 가령

$f_n(x) = 1$ if 2n-1/2 < x < 2n+1/2 for the given integer n
이렇게 정해놓고 나면

$f(x) = \sum f_n(x)$

이렇게 된다. 따라서, 푸리에 변환을 할때는 $f_n$만 잘 해주면 된다. 마찬가지로, 휘리릭 계산해 주면

$g_n (k) = exp(-2nik) \frac{-2}{ik}sin(k/2)$

그럼

$g(k) = \sum g_n(k) = (cot(k) – i)\frac{-4}{ik}sin(k/2)$

음…생긴게 조금 이상하긴 하지만, 아무튼 sinc함수에 다른 함수를 곱한 형태가 등장했다. (검산 해보기 바람. 적분한 다음 무한급수의 합 공식을 쓰면 됨.) 아마 이 함수는 연속함수일 것이다. (추측임. 증명은 안해봤음.)

그럼, 직사각형 함수가 주기적이지 않을 때에는 어떻게 될까? 이번엔 f(x)를 다음과 같이 정의하자.

$f(x) = \sum f_n(x)$

$f_n(x) = 1 $ if a_n < x 이것도 앞서 한 것과 마찬가지로 대충 적분하고 덧셈으로 꾹 눌러담아 주면 된다. 그러나 좀 까다롭게 된다. 앞에 나온 것처럼 하나의 함수가 되는 것이 아니라, 무한급수를 그냥 놔둬야만 한다.

$g_n(k) = exp(-ik\frac{b_n+a_n}{2})\frac{-2}{ik} sin(\frac{b_n-a_n}{2}k)$

$g(k)=\sum g_n(k)$

대충 보면, sinc함수는 맞는데, 앞에 삼각함수 하나가 곱해져 있다. 이건 왜 이렇게 되었을까? (물론 이 함수도 연속함수다. 아마)

두가지 경우의 직사각형 함수에 대해서 달라진 것은 단지 “주기성” 뿐이다. 이전의 글에서, 주기 함수를 푸리에 변환 하면 특정한 진동수의 함수들만 살아남게 된다는 것을 이야기 했었다. 하지만 함수에서 주기성이 깨져버리는 경우, 주기함수가 아닌 것을 주기함수(즉, 삼각함수)의 합으로 표현하려면 모든 종류의 주기성이 전부 다 포함되어야 한다. 뒤섞여 버리지 않으면 안된다는 것이다.

음…그런데, 어쨌든 impulse 형태는 보이지 않는다. 어떻게 된 걸까. 내 계산이 틀린건가?