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요새 기상이변, 생태계 파괴, 환경 파괴 등등에 관련된 많은 소식들이 올라오고 있다. 즉, 사람들의 관심거리가 되고 있다는 건데 이게 왜 관심거리가 될까?

인간이 아니더라도 국지적인/전 지구적인 환경파괴는 언제라도 일어날 수 있다. 가령 수천만년 전에 공룡을 멸종시킨 원인은 운석이거나 빙하기가 온것이거나 아무튼 급격한 환경 변화때문에 일어난 일이다. 그럼에도 불구하고 생명은 살아남아서 지금까지 그 명맥을 이어오고 있다. 그 와중에 멸종되어 이제는 화석으로만 만날 수 있는 종들도 있고 아직까지도 살아서 “살아있는 화석”이라고 불리우는 종들도 있고 변화된 환경에 성공적으로 적응하여 아직까지 살아남은 종도 있다.

생태계에서 인간이 저지르고 있는 여러가지 환경 파괴는 생태계 전체로 따지고보면 결국 “환경의 변화”에 지나지 않는다. 그러한 환경 변화 속에서 살아남는 종들은 성공적으로 적응한 종이다. 주어진 환경에서 살아남아서 번식하기에 적합한 표현형을 나타내도록 하는 유전자는 살아남고 그렇지 않은 유전자는 없어진다. 때로는 유전자 군 전체가 통째로 사라지는 멸종이 일어난다. 반대로 환경이 분리가 되면서 하나의 종이 여럿으로 나눠지는 종 분화도 일어난다.

인간이 자연을 길들이면서 나타난 건 인간에게 길들여진 종이 인간과 같이 번식하게 된 현상으로, 인위적인 현상이면서 동시에 대단히 자연스러운 현상이다. 여기서 자연스럽다는 말이 당연히 일어나야 한다는 뜻이 아니라는 점을 강조하고 싶다. 이 말은 자연에서 충분히 일어날 수 있는 일이며, 인간이 아니더라도 얼마든지 일어나게 할 수 있는 가능성이 있다는 점이다. 예를들어, 진딧물은 개미와 같이 진화했고 초식동물의 위장 속에는 초식동물의 소화를 도와주는 수많은 미생물들이 살고 있다. 서로가 서로의 진화를 유발하는 이러한 공진화는 어디서든지 일어날 수 있다. 왜냐하면 어떤 개체는 자기 자신을 제외한 모든것을 환경으로서 받아들이기 때문이다. 결국, 인간이 만들어낸 어떠한 환경 파괴나 생태계 파괴로부터 종이 없어지거나 기형 생물들이 나타난다고 해도 그건 그냥 급격히 일어나는 환경 변화로부터 나타난 자연스러운 현상일 뿐이다.

인간이 겁내고 있는 것은 그러한 기형이 인간에게도 나타나는 것이다. 가령, 팔이 3개 달린 아기가 우연히 태어났다고 해 보자. 이 아기는 유전자가 변형되어서 이 아기의 후손은 앞으로 팔이 3개 달리게 된다. 이 경우 이 아기는 배우자를 만나기가 어렵게 된다. 어떤 맘 착한 배우자를 만나서 자손 번식에 성공해도, 과연 몇 대나 이어질 수 있을까? 아마 수 대 안에 대가 끊어지게 될 것이다. 이것 또한 작은 규모의 멸종에 해당한다고 볼 수 있다. 물론 이것 역시 자연선택의 일부라고 볼 수 있다. 일반적인 인간의 인식에서 팔이 3개인 것은 혐오감을 일으킬 수 있고 따라서 매력적이지 않다. 매력적이지 않은 유전자는 없어지는 것이다.

인간은 인간 종이 어떤 안정된 종으로서 계속 존재하기를 바라는 것 같다. 옛날 히틀러는 우수한 혈통만 남기고 싸그리 죽여 버려야 인간이 더 발전할 수 있다고 주장했지만, 어차피 다 그놈이 그놈이다. 눈 두개, 콧구멍 두개, 팔 두개, 다리 두개, 손가락 발가락 열개씩.

환경을 보호/보전 해야 한다고 주장하는 사람도 있고 개발을 해야 한다는 사람도 있다. 난 어느쪽도 편들지 않는다. 개발을 하거나 개발을 하지 않거나 생물들은 그저 주어진 환경에 적응하며 열심히 살아갈 뿐이다. 생태계 파괴로 생물들이 멸종하는 것을 두려워 하는 것은 인간뿐이다. 그 어떤 생명체도 멸종을 두려워하지 않는다.

핵무기? 지구가 멸망할까? 전 세계의 핵무기가 지금 당장 전부 폭발해도 지구는 멀쩡하다. 심지어 핵 겨울이 와도 살아남을 생명체들은 다들 적응해서 살아날 것이다. 적응하지 못하면 죽음과 멸종뿐이다. 그것이 자연의 법칙이다.

자연 환경과 도시는 원래부터 구별과 경계가 없었다. 다만 인간들이 그걸 굳이 구별짓고 자연은 보호해야 하고 도시는 개발해야 한다고 생각한 것이다. 하지만 진짜 자연은 자연 환경과 도시를 구별하지 않으며 각자 자기 살 나름대로 살아간다. 도시에 적응한 비둘기 “닭둘기”가 그 예이고, 떠돌이 고양이가 그 예이다. (물론 닭둘기가 비둘기와 다른 종이 되었다는 얘기는 아니다) 모든 것은 그저 자연이다. 인간도 원래 자연의 일부다. 인간이 하는 모든 행위 역시 자연적인 일의 하나이다. 산불이 났을 때, 인위적으로 복구한 경우와 그냥 방치한 경우 중에 그냥 방치한 경우가 복구율이 높다고 한다.

이 글을 읽고 “그럼 넌 생태계를 파괴해도 좋다는 거냐?”라고 물어본다면, 글쎄. 난 그 질문에 대해서 대답하지 않는 것을 선택하겠다. 나한테 물어보지 말기 바란다. 어차피 쪽수 많은 쪽이 이기게 되어있는 문제니까 난 그 쪽수에 들고싶지 않다.

요새는 자동판매기가 일반화 되어 수많은 장소에 설치되고 있습니다. 슈퍼마켓이 문을 닫아도 자동판매기는 항상 작동되고 있으므로 편리하게 음료수를 사 마실 수 있습니다. 그런데, 자동판매기에서 나오는 음료수들의 가격은 같은 음료수라고 해도 장소에 따라 달라지는 경우가 많습니다. 자동판매기의 음료수 가격 결정은 자동판매기 관리인이 마음대로 조절할 수 있기 때문에 원한다면 관리인은 자동판매기 음료수 가격을 무척 비싸게 만들어서 폭리를 얻을 수도 있을 겁니다. 하지만 실제로는 그렇게 되지 않는데, 자동판매기에서 나오는 음료수 가격이 비싸질 수록 소비자들은 차라리 안 마시고 말겠죠. 그렇다면 관리인이 자동판매기의 수익을 극대화 시키기 위해서는 가격을 어떻게 주어야 할까요?

수학적인 자동판매기와 소비자들을 생각해 봅시다. 자동판매기에서 파는 음료수 1캔의 가격이 500원이라고 하고, 하루에 소비자들이 1000개의 캔을 산다고 하면, 하루에 50만원어치를 팔게 됩니다. 여기서, 음료수 가격과 매출 사이의 관계를 우리가 알 수 있는 수학적인 공식으로 바꾸는 것을 “모형 설정”이라고 합니다. 가장 간단한 모형은 “비쌀수록 덜팔리고 쌀수록 더팔린다”는 모형이 되겠죠? 500원을 기준으로 x만큼 비싸지는 것은 500*(1+x)라고 쓰면 됩니다. 그리고 가격이 x만큼 비싸졌을 때 1000개의 캔 판매량을 기준으로 x만큼 판매량이 줄어드는 것은 1000*(1-x)라고 쓰면 됩니다. 전체 매출은 가격과 판매량을 곱하면 되므로 500*(1+x)*1000*(1-x)가 됩니다. 분배법칙을 이용해서 계산하게 되면 50만원*(1-x*x)가 됩니다. 그럼 이제 매출은 언제 최대가 될까요? 간단히 계산해 보면, x=0일때가 됩니다. 간단하군요. 지금 그대로 놔두는 것이 가장 매출이 많은 경우입니다.

하지만 사실 자동판매기에는 한종류의 음료수만 파는 것이 아니기 때문에, 여러가지의 음료수 가격을 따로따로 정할 수 있습니다. 이번엔 좀 더 현실적으로, 두가지 종류의 음료수를 팔 때의 문제를 생각해 보도록 하죠. 만약 두가지 음료수의 가격과 판매량이 서로 영향을 주지 않는다면, 즉 콜라 가격이 올라간다고 사이다 판매량이 변하지 않는다고 하면 이 문제는 한가지 종류의 음료수를 파는 경우와 같아집니다. 하지만 서로 사이에 관련이 있다면 문제는 조금 복잡해 지겠죠. A와 B음료수 모두 원래는 하루에 1000개씩 팔린다고 해 봅시다. A음료수가 원래 500원이고 x만큼 비싸지면 A음료수는 x만큼 덜 팔리지만 B음료수는 x의 절반만큼 더 팔리고, B음료수가 원래 600원이고 y만큼 비싸지면 B음료수는 y만큼 덜 팔리지만 A음료수는 y의 절반만큼 더 팔리는 경우가 있다고 해 봅시다.

이것을 수학적인 공식으로 쓴다면 다음과 같아집니다.

판매 가격 = 500*(1+x)+600*(1+y)

판매량 = 1000*(1-x+0.5*y)+1000*(1+0.5*x-y)

총 매출 = 판매 가격*판매량

*쓰다 말았음. 더 이어지길 원하는 사람이 있으면, 그때 더 써볼 예정임…-_-;

음…난 가끔(자주) 카트를 한다. ID는 snowall 이다. 친추할 사람 하셈.

방금 카트를 하다가 웃기는 녀석을 만났다. “솔리드 프로 이상 다 나가!!” 라고 하더니 나 빼고 다 내?는다. 당황…그넘은 루루를 타고 있었다. 아, 나는 솔리드 프로를 타고 있었다.

아무튼, 나랑 몇판 했는데 실력은 나랑 비슷했다. 어디 가서 카트를 “많이 했다”는 소리는 듣겠지만 “잘한다”는 소리는 못 들을 정도의 실력이랄까. 아무튼 차빨 싫어한다는 놈 치고 실력있는 놈 못봤다. 그럼 연카 타든가…

몇판 나랑 하더니 어느새 친한척을 한다. “나 어제 나이키 덩크로우 신발 샀다. 9만원짜리. 만나면 신게 해줄게 ㅋㅋ”라고 신나서 얘기하는데…난 이때까지 이넘이 초딩인줄 알고 있었다. 그리고 난 나이키 덩크로우 신발이 뭔지 모른다 -_-;; 9만원짜리 캐주얼화 신고서 등산 갔다가 걸레 만들고, 10만원짜리 조깅화 사서 한번도 안 신는, 나같은 된장남은 9만원짜리 나이키 덩크로우 신발이 뭔지 모른단 말이다.

자꾸 나한테 신발 뭐신냐고 해서 “구두 신어요”라고 했더니 “너무 늙어보이잖아”라고 한다. 그래서 나이를 얘기했다. 그넘은 21살, 나는 23살…

…좌절. 그게 대학생이 사용할 언행이냐?

병특 하고나서 유학 갈거라고 했더니 이민 갈 생각이냐고 묻는다. 당연히 난 귀국해서 일자리 잡을 거다. 미쳤냐? 박사급 인력이 모두 외국에서 일자리 구하는 이마당에, 귀국해서 자리 잡아야지. 아무튼, 그랬더니 이친구, 카트는 안하고 헛소리를 시작했다. 한국은 미국의 식민지가 될 거라는 둥, 그전에 빨리 미국의 52번째 주가 되어야 한다는 둥, 정치인은 썩어빠졌다는 둥. 그리고 나보고 나만 잘 되면 신경 안쓰는 사람이랜다. 뭐, 그 짧은 카트라이더 채팅창으로 나에 대해서 다 파악하는건 무리였겠지만, 아무튼 난 나의 성공으로 국가 위상을 드높이고 싶은 물리학자 지망생이란 말이다.

한참 헛소리를 지껄이길래 나도 같이 헛소리를 해줬다. 한국은 망하지 않을 거라는 둥, 미국은 한국을 식민지로 만들지 않을 거라는 둥, 한국은 강하다는 둥…등등등.

나도 미쳤지.

아니, 돈 많은 사람들은 다들 호주나 캐나다로 이민 간댄다. 그래서 뭐 어쩌라고. 가겠다는데 어쩔거야. 왜 그사람들을 부러워하는데? 부러우면 돈 벌든가. 돈 벌 기회가 없다고 투덜대지 말고 기회를 만들든가. 딱 보니까 그 친구는 자기가 성공하지 못하면 분명히 한국에서 태어나서, 한국이 약해서, 영어를 못해서, 주변에서 안 도와줘서, 재능이 없어서 등등의 핑계를 댈 사람이다.

가난한 사람들에게서 먹고살 기회가 박탈된 것은 분명 정책의 실패다. 가난한 사람들은 노력할 기회조차 얻지 못하고, 가난은 계속 세습되고 있다. 그 사람들은 분명 나라가 약한 나라기 때문에 자신들이 가난하다고, 자신들은 실패할수밖에 없다고 변명할 자격을 충분히 가지고 있다. 하지만, 그 친구, 정신나간 대학생 친구. 넌 카트라이더 할 정도로 돈이 많으면서 그런 헛소리를 하는건 좀 이상하지 않냐?

아무튼, 뭐. 이 글에 관하여 명백한 욕설을 제외한 어떠한 댓글이라도 환영합니다. 관심받고 싶어요…-_-;;

난 공부를 혼자서 했다.

…라고 말하면 99.9%쯤은 거짓말이지만. 아무튼 혼자서도 공부를 하긴 했다.

요새는 학원, 과외, 인터넷 강의 등 공부할 수 있는 여건이 잘 갖춰져 있어서 스스로 공부하지 않아도 돈만 내면 교사가 눈앞에서 다 가르쳐주는 세상이 되었다. 물론 이게 나쁘다는 건 아니다. 하지만 이것은 문제의 시작점이 될 수 있다. 워낙 편하게 공부를 하다보니, “요점정리”라든가 “필수 기출문제”라든가 하는 공부하기 쉽게 가공된 정보만 머릿속에 들어오고 따라서 직접 중요한 것과 중요하지 않은 것을 스스로 따지는 것이라든가, 안풀리는 문제를 며칠씩 붙잡고 머리싸매면서 풀어보는 것이 멍청한 짓이 되어버린 세상이 된 것이다. 하지만 공부는 그런게 아니다. 답이 있든 없든, 내가 모르는 것을 알아가는 것 자체에 중요한 의미가 있는 것이다. 정확히 말해서, 내가 학교나 학원에서 배워야 하는 것은 지식이 아니라

지식을 만들어내는 방법

이다. 아주 유명한 격언이지만, 물고기를 잡아주기보다는 물고기 잡는법을 가르쳐 줘야 한다는 말이 있다.

요새는 모두 물고기를 잡아준다

. 생각해보니, 모든 사람들이 물고기를 잡을줄 알게 된다면 물고기 팔아서 먹고 사는 낚시꾼들은 다들 굶어 죽겠군.

스스로 공부하는 능력을 잃어버린 사람은 결국 타인에게 의존하는 수동적인 사람일수밖에 없다. 세상에는 사람이 모르는 것이 아주 많이 있는데, 그중에서 다른 사람에게 배울 수 있는 것은 아주 조금이다. 나머지는 스스로 알아서 배워야 하는 것이다. 하지만 스스로 공부를 할 수 없다면 결국 아주 많은 사람들에게 배워야 그나마 알게 된다는 얘기가 될텐데, 이건 곧바로 지출로 이어진다. 지식을 거래하는 사회에서는 지식을 만들어내지 못하면 자신의 자산이 줄어들어야만 할 것이다. 따라서 혼자서 공부하는 능력을 키우는 것은, 좋은 대학에 가는 것이나 성적을 잘 받는 것보다 훨씬 중요한 성공의 요소가 된다.

이런 이유로, 이 글에서는 혼자서 공부하는 방법에 관하여 논의해 볼 생각이다.

우선, 모든 수동적 공부방법을 끊어라. 과외, 학원, 인터넷 강의 등은 별 도움이 안된다. 물론 모든 것을 다 끊으라는 것은 아니고 적절한 타협점을 찾아서 필요한 과외, 필요한 학원, 필요한 인터넷 강의는 들어야겠지만 거기에 의존하는 태도를 버리기 위해서는 일단 모든 것을 끊고 시작하는 것이 좋다. 이 시기는 빠를수록, 어릴수록 좋다.

두번째로, 모르는 것에 대한 두려움을 없애야 한다. 당신이 이 세상의 모든 지식을 전부 아는 것은 불가능하다. 당신 스스로가 잘 알다시피 당신은 아무것도 아는 것이 없을 것이다. 아직 배우지도 않았으므로 모르는 건 당연한 일이고 따라서 그걸 이상하게 생각하는 사람들은 전부 이상한 사람이라고 할 수 있겠다. 모르는 건 당연한 일이니까 두렵고 자시고 할게 없다.

세번째로 가져야 하는 것은 모르는 것을 알고자 하며 그 알아가는 과정을 즐기려는 마음이다. 누군가로부터 손쉽게 얻어낸 지식은 모래위에 모래성을 쌓는 것과 같아서 파도가 휩쓸고 가면 전부 무너진다. 더군다나 현대 지식 사회는 지식이 폭풍처럼 만들어져서 온세상에 휘몰아치는 세계이다. 그 폭풍속에서 버텨낼 수 있는 견고한 지식을 쌓아두지 않으면 배우나마나한 지식이 되어버린다.

넷째로, 너무 어렵거나 모르는 것은 물어보면 된다. 하지만 대답해 주는 사람에게 의존하지 말고, 스스로 답을 찾는 것을 연습해라. 대답해 주는 사람이 내가 질문하는 것의 모든 것을 대답해줄 수는 없다. 그 역시 사람이니까. 스스로 답을 찾아내는 것을 연습하지 않으면, 아무도 대답해줄 수 없는 자신의 문제에 답을 알 수 없게 된다. 그 문제가 별로 중요하지 않다면 모르겠으나, 아무도 정답을 모르는 문제는 대부분

대단히 중요한 경우가 많다

.

다섯번째로는 지겨움에 대한 내성이다. 모르는걸 끝도없이 붙잡고 있으면 당연히 지겹다. 사실 별로 중요하지 않은걸 끝도없이 붙잡는건 시간낭비겠지만, 아무리 중요한 내용이라도 모르는걸 계속 고민하다보면 지겨워서 관두고 싶어진다. 이 지겨움을 알아냈을 때의 기쁨을 기대하면서 즐거움으로 승화시켜라. 이정도 할 수 있으면 절에 들어가서 스님이 되어도 이겨낼 수 있을 것 같다. 그리고 아무래도 모르겠다면 물어봐라.

여섯번째로, 평소에 책을 읽어라. 책을 많이 읽어두는 것은 잡다한 지식을 많이 얻을 수 있기 때문에 좋다. 그리고 독해력이 향상되어 중요한 공부를 해야 할 때 빠르게 공부를 할 수 있게 된다. 책을 그냥 읽으면 안되고 그 안의 내용을 자기 것으로 소화시키는 것 또한 중요하다. 책을 전부 암기하라는 얘기가 아니라 나중에 어떤 필요한 내용이 있을 때 “아, 그 책에서 봤던 내용이다!”라고 외칠 수 있을 정도의 어떤 느낌을 기억하라는 뜻이다. 책 제목을 다시 보면 “이건 이런 내용에 관한 책이었지”라는 느낌이 들 정도면 충분하다.

일곱번째는 네번째와 관련이 있다. 친구를 많이 사귀는 것도 공부에 도움이 된다. 친구는 인생의 여러가지 면에서 나에게 도움을 줄 수 있는데, 그중에서 내가 모르는 것을 친구가 알고 있을 가능성이 있기 때문에 공부에도 도움이 된다. 이것은 친구가 많아질수록 내가 얻을 수 있는 지식의 범위도 확장되는 것이라고 생각하면 된다. 물론 나 역시 친구가 내게 무언가를 물어봤을 때 성실하게 대답해줄 의무를 가진다는 점은 잊지 말자.

당신이 타고난 천재가 될 수는 없겠지만, 노력하면 천재 비슷한 정도는 될지도 모른다.

물론,

난 이 글이 당신에게 어떤 영향을 미칠지에 대해서 전혀 보증을 못하는 바이다.

수학은 그 이름에서도 알 수 있겠지만, 숫자를 연구하는 학문입니다. 물론 숫자만 연구하는 학문은 아니지만, 수학의 핵심에는 숫자가 자리잡고 있습니다. 이번 글에서는 수학에서 다루는 숫자들이 무엇이 있는지 알아보려고 합니다.

여러분들이 가장 처음으로 배웠던 숫자는 아마 자연수(natural number, 자연스러운 숫자)일 겁니다. 우리가 하나, 둘, 셋, 이렇게 셀 때 사용하는 숫자이기 때문에 가장 친숙한 숫자이기도 합니다. 자연수의 역사는 어떻게 되는지 알려져 있지 않지만, 인류의 역사와 그 맥을 같이하는 숫자라고 할 수 있겠죠?

자연수는 두가지 종류의 숫자들로 구별되는데, 바로 소수(prime number, 기본적인 숫자)와 합성수입니다. 합성수는 1과 자기 자신 이외의 숫자로 나누어 떨어지는 숫자이며, 소수는 1과 자기 자신 이외의 숫자로 나누어 떨어지지 않는 숫자들을 얘기하죠. 소수에 관한 연구는 가장 먼저 그리스의 수학자 유클리드가 시작했습니다. 바로, “소수는 무한히 많다”는 증명인데요, 대단히 간단하고 누구라도 알 수 있을만큼 쉽지만 수학에서 가장 중요한 정리중의 하나로 손꼽히는 증명이기에 여기에 소개합니다.

“소수들이 유한하다고 하자. 그렇다면 모든 소수들을 전부 곱한 숫자가 있을 것이다. 만약 이 숫자에 1을 더한다면 그 숫자는 그 숫자보다 작은 다른 수로 나누어 떨어지지 않는다. 따라서 이 숫자는 소수이다. 유한한 소수의 목록이 있으면 항상 새로운 소수를 찾을 수 있으므로 소수는 무한히 많다”

이러한 소수에 관한 연구는 현재 암호학에서 실제로 응용되어 여러분의 인터넷 생활을 안전하게 만드는 역할을 담당하고 있습니다.

자연수 다음으로 도입되는 수는 정수(integer, 셀 수 있는 숫자)입니다. 정수는 자연수에, 수학에서 가장 중요한 숫자인 0과 뺄셈을 가능하게 만든 “음수”라는 것들을 합쳐서 구성됩니다. 정수 역시 우리에게 익숙한 숫자입니다. 가령, 1-2=-1이라는 계산을 할수 있는 것은 정수에 음수가 존재하기 때문에 얘기를 할 수 있습니다. 만약 음수가 없었다면, 위의 계산은 답이 없는 문제가 되었겠죠?

정수와 자연수에서는 우리가 곱셈을 할 수 있습니다. 하지만 반대로 나눗셈은 잘 안되는 경우가 많죠. 가령, 6이라는 숫자는 2와 3을 곱해서 얻을 수 있습니다. 그렇지만 5는 1과 5가 아닌 다른 숫자를 곱해서는 결코 얻을 수가 없습니다. 그래서 수학자들은 나눗셈도 잘 가능하도록 정수에 분수를 추가했습니다. 그리고 정수와 모든 분수를 합쳐서 만든 숫자를 유리수(rational number, 분수로 나타내지는 숫자)라고 부르기 시작했습니다. 분수를 처음 도입한 사람들은 이집트 사람들인데, 이집트에서는 신기하게도 분자가 1인 단위 분수들만 사용했다고 합니다. 더 신기한건, 2/3은 분자가 1이 아닌데도 사용했다는 점이죠. 이후, 분자가 1이 아닌 분수들도 사용하면서 숫자의 세계는 더욱 확장되었습니다. 이때부터 사람들은 나눗셈을 제대로 할 수 있게 되었던 겁니다.

사실 유리수는 수학자 피타고라스가 가장 사랑했던 숫자들입니다. 피타고라스는 유리수를 얼마나 사랑했던지 모든 숫자를 분자와 분모가 모두 정수인 숫자, 즉 유리수로 나타낼 수 있다는 사실을 강조하면서 종교까지 만들었던 사람이죠. 하지만 피타고라스는 피할 수 없는 함정에 빠져버렸는데, 그것이 바로 무리수(irrational number, 분수로 안되는 숫자)의 등장입니다. 무리수는 정수로 된 분자와 분모로 된 어떤 분수로도 표현할 수 없는 숫자를 뜻합니다. 피타고라스는 무리수를 발견하고서 그 발견이 절대로 퍼지지 않도록 애썼다고 합니다. 하지만 수학적 발견을 피타고라스만 할 수 있는 건 아니므로, 다른 수학자들이 차츰 무리수를 발견했고, 결국 무리수는 수학자들이 숫자로 받아들이게 되었습니다.

무리수를 숫자로 받아들이면서 수학자들이 풀 수 있는 문제는 더욱 많아졌습니다. 예를들면, 각 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이를 숫자로 나타낼 수가 있게 된 겁니다. 그 전까지는 그러한 숫자를 사용하려면 전부 말로만 얘기했었어야 하는데, 더이상 그럴필요 없이 간단하게 “2의 제곱근”이라는 숫자로 쓸 수가 있게 되었습니다.

수학자들의 호기심은 여기서 그치지 않았습니다. 수학자들은 유리수와 무리수를 합쳐서 실수(real number, 진짜 숫자)라는 숫자를 만들어 냈습니다. 실수는 아주 특이한 성질을 가지고 있는데, 어떤 실수라도 자기 자신에게 곱하면 결코 음의 숫자가 나오지 않는다는 점입니다. 하지만 가끔, 자기 자신과 곱헤서 음의 숫자가 나오는 숫자가 필요할 때가 있습니다. 자기 자신과 곱해서 음의 숫자가 나오는 수는 처음에 3차 방정식을 풀기 위해서 등장했습니다. 1500년대 중반, 유럽의 수학자들은 3차 방정식을 해결하는데 대단한 관심을 갖고 있었습니다. 이에, 타르탈리아라는 이탈리아 수학자가 처음으로 일반적인 답을 찾아내는데 성공합니다. 그리고 타르탈리아의 풀이법을 전수받은 카르다노가 이 공식을 세상에 퍼뜨리는 바람에 “카르다노의 공식”이 3차방정식의 일반적인 풀이법으로 알려지게 되었습니다. 이때, 수학자들은 3차 방정식 문제를 제대로 풀기 위해서는 제곱해서 음수가 되는 숫자들을 “상상”해야만 한다는 사실을 알게 되었습니다. 그래서 이러한 숫자들을 수학자 데카르트가 허수(imaginary number, 상상의 숫자)라고 불렀고 실수와는 뭔가 다른 것으로 생각하게 되었습니다.

곧이어, 실수와 허수를 통합해서 생각하는 복소수(complex number) 체계가 만들어 졌습니다. 복소수는 아주 신기한 숫자들인데, 가장 중요한 것은 복소수에서는 모든 다항 방정식을 풀 수 있다는 겁니다. 다항방정식이란 “x를 두번 곱한 것과 x를 세번 곱한 것을 더하면 x가 어떤 숫자일 때 0일까?” 같은 형태의 문제를 말합니다. 이런 형태의 방정식을 전부 다 해결할 수 있다는 건 19세기에 수학자 가우스가 처음으로 증명하게 됩니다. 이 증명은 또한 수학에서 가장 중요한 정리중의 하나로, “대수학의 기본 정리”라고 부릅니다. 대수학이란 위에서 얘기한 다항 방정식을 푸는 수학을 말합니다. 안타깝게도, 대수학의 기본 정리를 증명하는 것은 그다지 쉽지 않아서 여기서 소개할 수는 없습니다. 수학자들은 당연히 신났습니다. 왜냐하면 “모든 문제를 풀 수 있다”는 것이 증명되었으므로, 이제 풀기만 하면 되기 때문이었죠. 하지만 이런 축제 분위기에 분위기 깨는 사람이 한두명쯤은 있는 것, 바로 비운의 천재 갈루아와 아벨입니다

갈루아는 21살때 현대 대수학에서 가장 중요하게 쓰이는 “갈루아 이론”에 관한 논문을 다 써놓고서 그 다음날 결투에 나가서 죽었고, 아벨은 5차보다 더 큰 차수의 다항 방정식은 근의 공식이 없다는 것을 증명했지만 26살에 영양실조로 죽었습니다. 아벨이 이룬 업적이 중요한 이유는, 바로 모든 방정식을 풀 수는 있지만 5차 이상부터는 어떻게 해결하는지는 잘 모른다는 것을 증명했기 때문입니다.

*2003년에 쓴 글을 다시 퍼왔습니다.

차원은 “상태를 표현하는데 필요한 숫자의 수”로 생각하면 이해하기 편합니다.

실제로 물리학에서는 위와 같은 정의를 이용하죠.

예를들어서, 기체의 운동을 분석할 때는 6차원 공간에서 분석합니다. 입자의 운동을 완벽하게 표현하기 위하여 입자의 위치(x,y,z)와 입자의 속도(x방향속력,y방향속력,z방향속력) 등 6개의 좌표가 필요하기 때문이죠.

또다른 예를 들어보면, 3원자 분자를 예로 들 수 있는데, 이 경우 12차원에서 분석하게 됩니다. 위에서 얘기한 6개의 차원에, 회전에 관한 차원이 6개가 붙게 되거든요.

우주론을 전개할 때는 상대성이론은 시공간 4차원에서, 초중력 이론은 5차원, 초끈이론은 11차원과 26차원에서, 각각 이론을 전개해 나가죠.

카오스 현상을 분석할 때는 차원을 정수가 아닌 분수나 무리수로 표현하기도 합니다. 그렇게 표현할 때 그 현상을 가장 잘 표현할 수 있기 때문이죠. 카오스 현상의 차원이 정수가 나오지 않는 이유는 수학적으로 좀 복잡한 얘기가 되므로 생략하겠습니다.

즉, 물리학에서 얘기하는 차원이란 어떤 현상을 나타내는데 필요한 만큼만 있으면 충분하다는 겁니다. 더 많아봐야 쓸데도 없고 괜히 복잡해 집니다.

시공간 차원에 대해 재미있는 이야기가 있는데, 어떤 물리학자가 공간3차원+시간1차원이 아닌 다른 차원에 대해서 그런 차원을 갖는 우주가 존재 가능한지 계산해 본적이 있다고 합니다.

결과가 정확히 기억은 나지 않지만 공간1+시간1의 2차원 우주는 존재가 불가능하고, 공간2+시간2의 4차원 우주는 매우 불안정하고, 공간3+시간2의 5차원 우주도 매우 불안정하다고 합니다. 정확하지는 않지만…-_-;

우리 우주가 갖고 있는 공간3+시간1의 4차원 시공간이 가장 안정적인 시공간 구조라고 하더군요.

아, 그리고 실제로 에너지는 하나의 좌표축으로 생각할 수도 있습니다. 양자역학을 본격적으로 배우다보면 “푸리에 변환”이라는 것을 배우게 되는데, 어떤 입자의 공간위치를 푸리에 변환하면 운동량으로 바뀌고, 어떤 입자의 시간위치를 푸리에 변환하면 에너지로 변합니다.

(오해할까봐 미리 말해두지만, 푸리에 변환은 양자역학뿐만 아니라 물리학 전반에서 쓰이는 강력한 도구중의 하나입니다…-_-;)

즉, 우리가 잘 아는 위치3+시간1의 4차원이 운동량3+에너지1의 4차원으로 변환되는 거죠. 이렇게 했을 때 뭐가 좋냐구요? 문제를 쉽게 풀 수 있게됩니다…-_-; 도저히 풀수 없는 문제가 쉽게 풀리게 되기도 하죠…

아무튼…

수학에서는 차원을 공간의 좌표 수로 정의합니다.

잘 알고있듯이 0차원은 점, 1차원은 선, 2차원은 면, 3차원은 입체로 표현되죠. 4차원은 아무것이라도 상관 없습니다. 컴퓨터를 이용해서 4차원을 표현할 때는 4번째 차원을 색깔로 표현하기도 합니다.

수학에서는 차원 이전에 우선 “공간”이 무엇인지 정하죠. 수학에서 말하는 공간이란 뭔가 표현 가능한 것들의 집합입니다.

집합은 또한 집합의 원소가 각각이 구별되고, 집합에 포함되는 것과 포함되지 않는 것이 충분히 구별 가능한 것들의 모임이죠.

예를들어, “점들의 집합”은 공간입니다. 점과 점이 아닌것은 구별되죠? 그리고 점과 점 역시 이름을 붙여주면 구별되죠. 또 “사람들의 집합”도 공간입니다. 이것들은 위에서 말한 공간의 성질을 만족하죠.

또한 “함수의 집합”도 공간입니다.

공간의 원소들을 구별하기 위해서 이름을 붙여줄 필요가 있는데, 그 이름이 “좌표”입니다. 보통 숫자로 표현하죠. 물론, 숫자가 아니더라도 사람이 사는 곳의 주소는 인간의 문자로 표현됩니다. 역시 좌표죠…

아무튼, 좌표를 표현하기 위해 필요한 충분한 수의 숫자 개수가 차원입니다.

(좀 더 고급의 수학으로 들어가면 차원의 정의를 확장하지만…그렇게까지 들어가면 -_-; 저도 모르는 깊은 혼돈chaos의 늪으로 빠지므로 생략…)

함수 공간의 차원은 무한대입니다. 함수 하나를 다른 함수와 구별하기 위해 필요한 숫자가 무한히 많거든요.

그러므로 수학에서는 차원에 대해 생각할 때 제한이 없습니다. “n차원 공간을 생각하고 이 공간의 원소들은 모두 공간의 조건을 만족한다”고 약속하기만 하면, 나머지는 다 해결되니까요.

北核유탄 ‘볼멘 과기부’

오늘도 이상한 기사를 읽었다. 요새는 맨날 이상한 기사다.

기사의 마지막 부분에 보면

과기부를 어떻게 안보 시스템 안에 편입시킬지 정부 차원의 진지한 논의가 필요한 시점이다.

라는 말이 있는데, 내 생각에 이 말은 틀렸다. 과학기술부가 우리나라 행정부에서 안보와 관련되어 맡아야 하는 역할은 국가 안보를 지키는게 아니라 국가 안보를 지켜줄 수 있는 기술을 확보하고 개발하는 부분이다. 과학자/기술자들은 기술을 개발하고 연구하는데 관련해서는 전문가들이지만 그 기술을 이용해서 “이건 국가 위기 상황이다!”라고 판단할 수는 없다. 과학기술부를 안보 시스템 안에 편입시키는게 아니라, 과학기술부에게 과학적인 안보 시스템을 국가정보원/국방부 등에 만들어 달라고 요구하고 예산을 지원하는 것이 문제를 맞게 해결하는 방법일 것이다. 이건 무슨 해처리에서 캐리어 뽑는 것도 아니고 건물만 있으면 다 나오는줄 안다. -_-; 스타크라도 좀 해봐라.

기사 후반을 살펴보면

기술지원을 맡은 과학기술자들이 “우리는 지원만 할 뿐 정치적 결정에대해선 아는 바 없다”는 식으로 대응하는 것도 문제다. 과학을 어떻게 사용하는 것은 정책 결정자의 몫이라는 조선시대 중인의식과도 같은 인식에 머물러 있는 것이다.

라고 되어 있는데, 이걸 문제라고 생각하는 것 자체가 문제 아닌가? 그럼 과학자/기술자들이 국산 핵무기를 개발한다음에 “북한이 핵무기를 발사하기 전에 우리가 먼저 공격해야만 한다!”라고 주장하면 공격하자는 거야? 과학을 어떻게 사용하는지에 대한 결정이 전부 정책 결정자에게 일임될 수는 없겠지만, 그래도 그쪽 사람들은 정치/외교/행정 분야에서는 나름 전문가라고 자부하는(또는 자부하고 싶은) 사람들 아니었던가. 정책 결정권을 가진 사람들은 정책을 결정하는 사람들이다. 따라서 결정권은 일단 그들에게 부여된다. 아니면 처음부터 정책 결정권을 과학자/기술자들에게 주든가. 과학자/기술자들이 할 수 있는 것은 정책 결정권자에게 가장 정확한 정보를 전달하여 그들이 올바른 결정을 하도록 돕는 것이다.

일단, 정책 결정권자들이 과학이랑 기술이 뭐고 대체 어떤 방식으로 발전하는지에 대한 교육을 20학점 정도 들어야 그 사람들이 개념을 가질 것 같다. 이건 스타포트에 콘트롤 타워 안 지어놓고 배슬 없다고 ㅈㄹ하는거랑 똑같잖아.

아니군.

아카데미도 없이 스캔 안뿌려봤다고 ㅈㄹ하는 건가. 우리가 미국이냐? 맵핵쓰게…-_-;

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올블로그 돌아다니다가…20세기를 만든 아름다운 방정식이라는 책에 관한 글을 읽었다.

뭔가 해서 봤더니, 음…다 아는 방정식이었다. -_-;

(잘난척 하지 마라! 라고 하실 분은 옆에 있는 “자기소개서”를 봐 주시길)

해서, 그 블로그에 소개된 방정식에 관하여 앞에서부터 하나씩 나름대로의 해석을 달아 보았다.

E=hf

뜻은 쉽다. 입자의 에너지는 그놈의 진동수에 비례한다. 이게 왜 20세기를 만들었냐고? 플랑크가 흑체 복사 이론을 전개할 때, 이 가설을 받아들여야만 뭔가 문제가 해결이 된다는 사실을 깨달았다는 점이다. 사실 정확한 공식은 E=nhf로, 앞에 n이 써있어야 한다. n은 양의 정수이다. 즉, 1부터 시작하는 자연수를 말한다. 이렇게 써놓으면 뜻이 좀 바뀐다. 입자의 에너지는 그놈의 진동수의 정수배에 비례한다. 바로 이것이 “양자화 조건”이다. 이걸 하면 흑체 복사 방정식에 있는 적분이 덧셈으로 변신하는데, 그순간 마법처럼 분모에 -1이 들어가면서 실험과 이론이 딱 맞아떨어진다. (물론 수학을 마법이라고 표현한건 내 잘못이다)

또한, 이 조건을 광전효과(Photoelectric effect)의 해석에 적용한 아인슈타인은 덕분에 노벨상도 받았다. (물론 플랑크도 위의 연구에서 받았다. 이 공식은 20세기 초에 노벨상을 무지하게 쏟아낸 말도안되게 쉬운 공식의 좋은 예가 된다)

x(n+1)=ax(n)(1-x(n))

a는 그냥 상수다. x(n)은 숫자들을 늘어놓는 것이고 거기에 n이라는 번호를 붙어둔 것이다. 그리고 이 공식은 숫자들을 모아둔 x(n)을 지배하는 공식이다. 이 공식에 따라서 그림을 그리면 항상 어느 한 점으로 수렴하는 일이 일어나는 것 처럼 보이다가 a가 점점 커질수록 수렴하지 않고 2점 사이에서 오가게 된다. 그러다 어느 순간 4점이 되고, 차츰 주기는 짧아지고 오가는 점은 무한정 많아진다. 그러다가 a가 4를 넘어가면 다시 3점 사이에서 오가고, 어느 순간 9점…

…이런식으로 계속된다.

자, 만약 x(n)을 n년도의 인구숫자라고 하자. 그럼 ax(n)은 출생률이 될 것이다. 왜냐하면 사람이 많을수록 아기는 많이 태어나니까. 1-x(n)은 사망해서 줄어든 사람의 수와 비슷해 질 것이다. 왜냐하면 사람이 많을수록 많이 죽을 것이고 그럼 더 많이 줄어들게 된다. 이제 이걸 이용해서 n+1년도의 인구를 계산하면 어느 점에서 오락가락하다가 수렴하게 된다. 사람을 제외한 대부분의 생명체는 개체수가 위의 공식에 의해서 어느 특정한 점에 거의 수렴한다. 또한, 어느 특정한 해에 급격하게 늘어났어도 급격하게 늘어난 개체에 의해 급격하게 사망률이 증가해서 줄어들게 된다.

이로부터 카오스 이론이 시작되었다.

드레이크 방정식

외계 지성체가 있을 가능성에 관한 공식이다. 사실 외계 지성체라는 존재의 정의가 뭔지 물어보고 싶다. 우리가 걔들이랑 대화를 하려면 거의 메소포타미아 지방의 고대 상형문자 해독보다 더 어려운 수준의 언어 해독을 해야 할텐데, 그럼 말 안통하면 걔들은 무식한걸까?

각종 SF영화에서는 외계인을 비롯하여 모든 공식 언어가 영어라서 오해하기 쉬운데, 외계인들이 있다고 해도 우리가 알아들을 수 있는 언어나 적당한 의사소통 수단을 갖고 있으리라고 기대하는 것은 무리다. 또한, 우리가 그들이 알아듣도록 얘기할 수 있다고 가정하는 것도 무리다. 만나면 뭐하겠는가. 손 살짝 흔들어주고 빠이빠이 해야지.

E=m

더 간단하다 -_-;

광속도 상수는 귀찮아서 뺐다. 입자물리 하는 사람들은 흔히 c=1로 놓고 계산한다. 이렇게 놓고 보면 그냥 에너지=질량 이라고 쓸 수 있다. 앞에서의 플랑크의 공식과는 다르게, 이 공식은 좀 위험하다. 원자폭탄을 만들 수 있는 이론적 가능성을 최초로 제시한 공식에 해당하기 때문이다. 물론 실제로 그 가능성이 나온건 원자가 분열할 때 더 가벼워진다는 실험적 관찰에 근거한 것이지만. 물리 하는 사람들이 반은 시대적/정치적 상황에 의해 반은 호기심에 만든 원자폭탄은 일본에서 10만명을 죽이고 100만명을 그 후유증에 빠트렸으며 일본은 덕분에 아직도 “우린 전쟁 피해자야!”라고 핑계를 댈 수가 있게 되었다.

흥미롭게도, 아인슈타인은 이 공식에 관해서는 노벨상을 받지 못했다. 노벨상은 인류의 발전에 기여할만한 과학적 발견에 주어지는 건데 이 공식은 사람을 죽이는 가장 파괴적인 군사 무기의 원리가 되었으니 주지 않을만도 하다. 라고 생각할 수도 있겠지만, 내 생각엔 당시 노벨상 심사 위원들은 이 공식이 그다지 쓸데가 없으리라고 생각했던 것 같다.

프레온 가스의 오존층 파괴 공식

사실 전공이 아니라 대강은 이해해도 딱히 할말은 없다.

샤논의 공식

이거 사실 통계물리에서 말하는 엔트로피 공식이랑 똑같이 생겼다 -_-; 밑을 2가 아니라 e로 바꾸면 그냥 엔트로피로 공식으로 변신한다. 물리학자들한테는 별로 새로울 것도 없는 공식인데 모르던 사람들에겐 충격으로 다가왔나보다. 이러다보니 물리하는 사람들이 좌절한다. 물론 샤논이 만든 업적을 폄하하자는 건 아니지만(아마 샤논도 통계물리를 공부했을 것 같다) 실제로 학문을 하다보면 어느 한 분야에서 열심히 풀고 있는 문제들이 다른 분야에서는 이미 잘 알려져 있고 답도 다 있으며 응용까지 되고 있는 경우가 자주 있다. 학문과 학문 사이의 의사소통이 잘 이루어진다면 인류의 학문 발전은 훨씬 빨라질 것이라고 생각한다. 이런 점에서 난 최재천 교수님의 통섭consilience개념을 좋아하는 편이다.

슈뢰딩거 방정식

이 세상에서 일어나는 모든 물리적인 과정에 대한 기초적인 해설을 해 주는 식이고, 동시에 아직도 제대로 풀리지 않은 부분들이 많은 방정식이다. 물리학과에 오면 3학년때 배운다.

슈뢰딩거의 파동 방정식이라고도 불리는데, 그것은 이 방정식의 해가 파동과 같은 행동을 하기 때문이다. 하지만 우리가 실제 구경할 수 있는 음파나 전자기파와 같은 행동을 하지는 않는다. 슈뢰딩거의 양자역학적인 파동은 확률로서의 파동을 뜻한다. 따라서 이것을 개념으로 이해하는 것은 아주 힘든 일이다.

더불어 불확정성 원리도 있는데, 이건 푸리에 변환에서도 유도할 수 있고 연산자 방법에서도 유도되는 아주 당연한 식이다. 그리고 수학적 정리 답게 물리학에서 이것에 위배되는 일은 일어나지 않고 있다.

이 방정식을 고체에 대해서 풀면(풀 수 있다면) 반도체가 작동하는 기본적인 이해를 할 수 있기 때문에 현대 과학 기술 발전의 중요한 밑거름이 된 방정식이라 할 수 있다.

디랙 방정식

우리 교수님께서 물리학계의 진정한 천재라 말씀하시는 P. A. M. 디랙이 소개한 특수 상대성 이론과 관련된 파동방정식이다. 생긴건 슈뢰딩거 방정식이랑 비슷하게 생겼는데, 이게 풀다보면 사람 미치게 만드는 부분이 있다. 제대로 풀려면 물리학과 대학원에서 반년에서 1년정도 공부를 해야 한다. (물론 학부를 물리학과를 졸업해야 한다)

덕분에 우리는 우리가 사는 세상이 입자로만 이루어진 세상에서 입자-반입자의 세상이라는 것을 알 수 있게 되었으며, 우주의 신비에 두걸음정도 더 가까이 다가갈 수 있었다.

물론 실생활에 쓰이는 일은 극히 드물게 사용된다. 굳이 실생활과 연관되는 분야를 찾아본다면 원자력 발전소에서 일어나는 일들 정도랄까?

아인슈타인의 마당 방정식(Einstein’s field equation)

아인슈타인이 만든 일반 상대성 이론의 핵심 방정식이다. 물론 수학적으로는 랭크가 2인 4차원에서의 텐서 미분 방정식이지만. 아무튼 저 방정식의 의미는 질량이 공간을 구부리고 구부러진 공간은 질량이 가야할 길을 알려준다는 뜻이다. 이 이상의 의미를 알고 싶으면 물리학과 대학원에 진학하면 된다.

위에서 언급한 특수 상대성 이론과 마찬가지로, 아인슈타인은 이 논문으로도 노벨상을 못 받았다. 사실 실생활의 모든 일을 설명하는데는 뉴턴의 이론이면 모든것을 다 알 수 있기 때문에 아인슈타인의 이론은 그다지 쓸데가 없었던 것 같다. 굳이 실생활과 적용하자면 GPS에서 소숫점 아래로 여섯자리정도 되는 시간 오차를 교정하는데 사용한다고 보면 되겠다.

앞서의

평범한 차원

에 관한 글에서 차원을 길이를 2배로 늘리면 크기가 2의 d제곱수로 늘어날 때, d를 차원이라고 정했었다.

하지만 이런건 어떨까?

칸토르 집합(Cantor set)

시에르핀스키 카펫트(Sierpinski carpet)

멩어 스폰지(Menger sponge)

칸토르 집합은 집합의 일부분을 가져다가 길이를 3배하면 전체가 2배가 된다. 즉, 3의 d제곱수가 2가 되는 숫자의 d차원이다.

시에르 핀스키 카펫은 삼각형의 일부를 가져다가 각 변의 길이를 2배로 하면 전체가 3배가 된다. 즉, 2의 d제곱수가 3이 되는 숫자의 d차원이다.

멩어 스폰지는 정육면체처럼 생긴 스폰지의 일부를 가져다가 변의 길이를 3배를 하면 전체는 8배가 된다. 이번엔 2의 d제곱수가 8이 되는 숫자의 d차원이다.

각 문제의 정답은 무리수로 주어지며, 각각 0과 1차원 사이, 1과 2차원 사이, 2와 3차원 사이이다.

이러한 프랙탈 도형은 자연계에서도 흔히 찾아볼 수 있다. 대표적으로 고사리 줄기인데, 고사리 줄기의 어느 일부분을 떼어내서 확대하면 새로운 줄기처럼 보인다. 나뭇잎의 잎맥의 생김새라든가, 브로콜리의 생김새 등이 대표적인 예가 될 수 있을 것이다. 이러한 프랙탈 구조가 자연에서 흔히 나오는 이유는 가장 영양분 전달이 효율적인 구조이기 때문이다. 이런 구조를 이용한 통신망을 구성한다면 통신 효율이 좋아지지 않을까 잠시 생각해 본다.

이런 곳에서는 대체 얼마만큼의 자유도가 있을까? 가령, 칸토르 집합 같은 경우는 0차원보다 크고 1차원보다는 작은 차원을 갖고 있는데, 0차원인 점에서는 결정할 수 있는 자유도가 전혀 없었고 1차원인 직선에서는 우리에게 단 하나의 자유도만이 주어졌다. 그럼 대체 그 사이에 해당하는 자유도라는 것은 무슨 의미인가. 이것을 쉽게 이해하는 방법은 우리가 칸토르 집합 안에 들어가서 산다고 상상해 보는 것이다. 만약에 점이었다면 어디 움직일 수 있는 공간이 없겠지만 칸토르 집합은 그보다는 자유도가 높기 때문에 움직일 수있는 자유도가 생긴다. 하지만 어딘가 옆으로 가려고 살짝 움직이면 갑자기 갈 수 없는, 끊어진 길이 나타나는 것이다. 그 길을 건너 뛰어서 갈 수는 있지만 그냥은 못간다. 그래서 그 길을 확대해서 잘 보면 끊어진 길 사이사이에 이어진 길이 또 있고. 이어진 길에 끊어진 길이 있는 것이다.

다시, 시에르핀스키 카펫트에서는 어떤 일이 일어날까? 일단 1차원보다는 크기 때문에 우리는 이 위에서 적당한 직선을 그을 수는 있다. 하지만 2차원보다는 작기 때문에 이 직선을 맘대로 움직일 수가 없다. 어느 한쪽으로 움직이는 순간 구멍난 곳에 걸리는 것이다. 멩어 스폰지 역시 비슷한 것을 상상할 수 있다.

우리는 이제 차원을 정수가 아닌 것도 상상할 수 있는 것이다.

“좀 더 고차원적인 사고방식”

흔히 쓰는 말이다. “차원이 다른…”뭐 이런 표현들은 여기저기서 쓰인다. 그럼 차원은 무엇일까?

내 생각에,

“우리는 얼마나 자유로운가?”

에 대한 대답이 바로 “차원의 개념”을 잘 나타낸다고 생각한다. 왜 그런지 이제 설명을 시작해 본다.

차원에는 여러가지 뜻이 있는데, 그 뜻들은 모두 일맥상통하는 개념들이 있다. 일단, 가장 쉽게 접할 수 있는 수학에서의 차원 개념부터 시작해보자. 물론 수학은 어려울 것이고 내 설명이 그다지 쉽지 않을수도 있다.

수학에서 차원 개념이 가장 먼저 나온 것은 공간에 관한 기하학이었다. 땅바닥에 유클리드가 자와 컴퍼스를 이용해서 그림을 그릴 때, 사람은 점을 찍고 선을 그을 수 있었다.

그럼 점을 찍을 때 사람들이 선택할 수 있는 방식은 얼마나 될까? 쉽게 설명하기 위해서 일단 흰 종이를 한장 펼쳐보자. 종이가 아까우면 상상속에 종이를 펼쳐도 된다. 참고로 흰 종이는 무한히 큰 크기를 가지고 있다(고 생각하자). 흰 종이위에는 어떤 직선이 하나 그려져 있다. 물론 직선은 항상 무한히 길다. 아직 그려져 있지 않으면 그려라. 그렸으면, 이제 우리는 이 종이에 점을 하나 찍어야 한다. 점을 하나 찍는데, 조건이 있다. “점은 항상 직선 위에 찍어야 한다”는 규칙이다. 그렇다면 우리가 점을 찍을 수 있는 자유로움은 확실히 줄어들게 된다. 물론

아주 많은 경우

에서

여전히 많은 경우

로 줄어들었기에 정확히 얼마나 줄어들었는지는 잘 모르겠지만, 아무래도 맘대로 여기저기 찍을 수 있었을 때보다 줄어들었다는건 느껴질 것이다.

만약에 흰 종이위에 직선이 두개가 있다면, 우리는 최소한 이 두 직선에 관하여 말할 수 있는 단 한가지의 진실은 얘기할 수 있다.

두 직선은 반드시 만나거나 만나지 않는다.

이제, 다시 점을 찍어보려고 하자. 조건은 같다. “점은 항상 직선 위에 찍어야 한다”는 규칙이다. 하지만 한가지 보강된 규칙이 적용되어야 하는데, “점은 두 직선 위에 모두 찍혀 있어야 한다”이다. 이 규칙을 적용하면 우리의 자유도는 더욱 줄어들게 된다. 이 경우에 대해서, 우리는 점을 찍을 수 있는 자유도에 대해서 단 한가지의 진실을 얘기할 수 있다.

점을 단 한개 찍을 수 있거나, 점을 단 한개도 찍을 수 없다.

내가 보기에는, 이보다 간단할 수는 없다. 우리에게는 점을 찍을 수 있는 자유가 사라진 것이다. 직선이 만나는 경우에는 점을 한개 찍을 수 있을 것이고, 직선이 만나지 않는 경우에는 점을 찍을 수 없다. 물론, 무한히 먼 곳에서 직선이 만난다고 가정하면 이런 것 조차도 없어지고 항상 점을 한개만 찍을 수 있다는 얘기가 될 것이다.

보통의 경우에, 우리가 어떤 얘기를 할 때는 대부분 “없음”에 대한 수학적 표현으로서 항상 0을 사용한다. 따라서, 점을 하나 찍는 경우, 우리는 점의 차원을 0이라고 정의하면 좋을 것이다.

이제 직선에 관한 이야기를 해보자. 직선은 그럼 차원이 어떻게 될까? 이번에도 흰 종이를 생각해 보자. 종이에 직선을 그릴 때 우리는 얼마만큼의 자유가 있을까? 물론 직선 그리는 거야 뭐 누가 뭐라고 하겠느냐마는, 흰 종이 위에 이미 직선이 하나 있다(고 해 보자. 아까 했던 얘기다). 규칙은 다음과 같다. “직선은 만나면 안된다”라는 규칙이다. 순식간에 우리가 그림을 그릴 수 있는 자유도는 확 줄어들게 된다. 우리에게 선택권은 단 한개뿐인데, 이미 그려져 있는 직선에서 얼마나 떨어져있는지에 대한 얘기를 할 수 있는 것이다. 하지만 그 외에는 아무것도 결정할 수 있는게 없다. 따라서 이 경우의 자유도는 점이 가지고 있는 자유도보다는 클 것이다. 또한 그 외에 결정할 수 있는 것이 없으므로 무작정 커질 수도 없는데, 적어도 직선이 이미 그려져 있는 상황에서는 다른 자유도가 없다는 것을 알 수 있다.

우리가 가진 선택권이 단 1개라는 사실로부터, 우리는 직선의 자유도를 1차원이라고 정할 수 있을 것이다.

다시, 평면에 관한 이야기를 할 수 있을 것이다. 평면은 흰 종이 그 자체를 뜻한다. 그럼 여기에 어떤 자유도가 숨어 있을까? 우리는 지금까지 점과 직선에 관한 이야기를 했고 점은 0차원이며 직선은 1차원이라는 결론을 얻었다. 평면에는 점과 직선을 그릴 수 있다. 더군다나,

우리는 평면의 아무곳에나 점과 직선을 그릴 수 있다.

그렇다면 평면은 점과 직선을 포함할 수 있는 더 큰 자유도를 가지고 있을 것이며, 따라서 1차원보다는 큰 차원의 숫자를 갖고 있음을 알 수 있다. 평면의 차원은 어떻게 정하면 좋을까? 여전히 앞서 얘기한대로, 일관성 있게, 선택권의 갯수로 얘기할 수 있을텐데, 이번에도 마찬가지로 직선을 하나 그려보자. 그리고 아까 했던 규칙대로 점을 찍어야 하는데, 아까 했던 규칙은 바로 “점은 직선 위에 있어야 한다”는 규칙이다. 우리는 여기서 두번의 자유로운 선택을 할 수 있었다. 직선을 그릴 때 한번, 직선위에 점을 찍을 때 한번. 하지만 그 이상은 없다. 따라서 평면의 차원을 2차원이라고 정하자.

아니, 근데, 이걸 언제까지 해야 할까? 3차원도 있을까? 4차원은? 5차원은 뭐지?

이런 질문에 대답하기 위해서, 위의 개념을 약간 추상화하겠다. 우리는 일단 “거리Distance” 또는 “길이Length”를 잴 필요가 있다. 어떻게 재냐고? 그냥 자(Ruler)로 재면 된다. 뭐, 그냥 그런 자가 있다고 해 두자. 그리고 우리가 앞으로 다루게 될 공간은 일단 무한히 크다고 해 두자. 크기가 유한한 공간에 대해서는 나중에 얘기하도록 하겠다.

이제 “어떤 공간”을 하나 생각하자. 이 공간의 차원은 어떻게 결정할 수 있을까? 평면같은 경우는 워낙 익숙한 것이라서 그림이 그려지지만, 이 공간은 도대체가 뭘 어떻게 해야 하는지 상상조차 가지 않는 그런 이상한 공간이다. 수학자들은 이런 이상한 공간의 차원을 정의하고 그 차원의 정의가 우리가 아는 상식과 잘 맞아떨어지도록 규칙을 잘 정해두었는데, 그것이 바로 “크기volume”이다. 어떻게 하는건지 내 설명을 잘 따라와주기 바란다.

일단, 공간을 가득 채우는 어떤 물체를 생각해 보자. 물론 이 물체가 진짜 물체이거나 할 필요는 없다. 그냥 단지 주어진 공간을 가득 채우고 있을 뿐이다. 이 물체를 칼로 적당히 썰어내는데, 주의사항은 조각난 것들 중에 적어도 한 조각은 유한한 크기가 되어야 한다는 것이다. 크기가 유한하다는 뜻은 적당히 멀리 가면 어느 방향에서 보더라도 끝에서 끝이 다 보인다는 말이다.

이제 삽질을 하나 해야 하는데, 주어진 그 물체가 갖고 있는 모든 모서리의 길이를 전부 재야 한다. 길이는 그냥 자로 재는 거지만, 무한히 많은 모서리가 있을 수도 있기 때문에 주의깊게, 세심하게, 무한히 많은걸 모두 재야 한다. 이제 우리는 차원을 정의할 수 있다.

어떻게 하느냐면, 주어진 모서리의 길이를 갖고서, 각각의 길이를 전부 2배로 늘린다. 그러고나서 물체의 크기를 늘리기 전과 비교해 보자. 원래의 크기를 그냥 1이라고 한다면, 늘리고나서의 크기는 2를 차원 수 만큼 곱한 크기가 된다. 다시말해서, d차원 공간인 경우 2의 d제곱이 늘린 후의 크기가 된다. 정말? 된다니깐.

0차원 공간인 점은 그냥 점 하나뿐이니까 점 하나의 크기를 1이라고 두면 되는데, 점 하나밖에 없기 때문에 그냥 그 점은 1이다. 따라서 2의 0제곱.

1차원 공간인 직선에 대해서는, 직선을 조각조각내면 그중 하나가 유한한 길이를 가지는 선분인데, 길이를 두배하면 길이가 곧 크기이므로 여기서는 그냥 2배, 따라서 2의 1제곱.

2차원 공간인 평면은, 평면을 조각내면 그중 하나가 적당한 평면도형이 되는데 길이를 두배하면 넓이가 네배가 된다. 따라서 2의 2제곱.

3차원에 대해서는 직접 해 보시기를.