차원의 개념

*2003년에 쓴 글을 다시 퍼왔습니다.

차원은 “상태를 표현하는데 필요한 숫자의 수”로 생각하면 이해하기 편합니다.

실제로 물리학에서는 위와 같은 정의를 이용하죠.

예를들어서, 기체의 운동을 분석할 때는 6차원 공간에서 분석합니다. 입자의 운동을 완벽하게 표현하기 위하여 입자의 위치(x,y,z)와 입자의 속도(x방향속력,y방향속력,z방향속력) 등 6개의 좌표가 필요하기 때문이죠.

또다른 예를 들어보면, 3원자 분자를 예로 들 수 있는데, 이 경우 12차원에서 분석하게 됩니다. 위에서 얘기한 6개의 차원에, 회전에 관한 차원이 6개가 붙게 되거든요.

우주론을 전개할 때는 상대성이론은 시공간 4차원에서, 초중력 이론은 5차원, 초끈이론은 11차원과 26차원에서, 각각 이론을 전개해 나가죠.

카오스 현상을 분석할 때는 차원을 정수가 아닌 분수나 무리수로 표현하기도 합니다. 그렇게 표현할 때 그 현상을 가장 잘 표현할 수 있기 때문이죠. 카오스 현상의 차원이 정수가 나오지 않는 이유는 수학적으로 좀 복잡한 얘기가 되므로 생략하겠습니다.

즉, 물리학에서 얘기하는 차원이란 어떤 현상을 나타내는데 필요한 만큼만 있으면 충분하다는 겁니다. 더 많아봐야 쓸데도 없고 괜히 복잡해 집니다.

시공간 차원에 대해 재미있는 이야기가 있는데, 어떤 물리학자가 공간3차원+시간1차원이 아닌 다른 차원에 대해서 그런 차원을 갖는 우주가 존재 가능한지 계산해 본적이 있다고 합니다.

결과가 정확히 기억은 나지 않지만 공간1+시간1의 2차원 우주는 존재가 불가능하고, 공간2+시간2의 4차원 우주는 매우 불안정하고, 공간3+시간2의 5차원 우주도 매우 불안정하다고 합니다. 정확하지는 않지만…-_-;

우리 우주가 갖고 있는 공간3+시간1의 4차원 시공간이 가장 안정적인 시공간 구조라고 하더군요.

아, 그리고 실제로 에너지는 하나의 좌표축으로 생각할 수도 있습니다. 양자역학을 본격적으로 배우다보면 “푸리에 변환”이라는 것을 배우게 되는데, 어떤 입자의 공간위치를 푸리에 변환하면 운동량으로 바뀌고, 어떤 입자의 시간위치를 푸리에 변환하면 에너지로 변합니다.

(오해할까봐 미리 말해두지만, 푸리에 변환은 양자역학뿐만 아니라 물리학 전반에서 쓰이는 강력한 도구중의 하나입니다…-_-;)

즉, 우리가 잘 아는 위치3+시간1의 4차원이 운동량3+에너지1의 4차원으로 변환되는 거죠. 이렇게 했을 때 뭐가 좋냐구요? 문제를 쉽게 풀 수 있게됩니다…-_-; 도저히 풀수 없는 문제가 쉽게 풀리게 되기도 하죠…

아무튼…

수학에서는 차원을 공간의 좌표 수로 정의합니다.

잘 알고있듯이 0차원은 점, 1차원은 선, 2차원은 면, 3차원은 입체로 표현되죠. 4차원은 아무것이라도 상관 없습니다. 컴퓨터를 이용해서 4차원을 표현할 때는 4번째 차원을 색깔로 표현하기도 합니다.

수학에서는 차원 이전에 우선 “공간”이 무엇인지 정하죠. 수학에서 말하는 공간이란 뭔가 표현 가능한 것들의 집합입니다.

집합은 또한 집합의 원소가 각각이 구별되고, 집합에 포함되는 것과 포함되지 않는 것이 충분히 구별 가능한 것들의 모임이죠.

예를들어, “점들의 집합”은 공간입니다. 점과 점이 아닌것은 구별되죠? 그리고 점과 점 역시 이름을 붙여주면 구별되죠. 또 “사람들의 집합”도 공간입니다. 이것들은 위에서 말한 공간의 성질을 만족하죠.

또한 “함수의 집합”도 공간입니다.

공간의 원소들을 구별하기 위해서 이름을 붙여줄 필요가 있는데, 그 이름이 “좌표”입니다. 보통 숫자로 표현하죠. 물론, 숫자가 아니더라도 사람이 사는 곳의 주소는 인간의 문자로 표현됩니다. 역시 좌표죠…

아무튼, 좌표를 표현하기 위해 필요한 충분한 수의 숫자 개수가 차원입니다.

(좀 더 고급의 수학으로 들어가면 차원의 정의를 확장하지만…그렇게까지 들어가면 -_-; 저도 모르는 깊은 혼돈chaos의 늪으로 빠지므로 생략…)

함수 공간의 차원은 무한대입니다. 함수 하나를 다른 함수와 구별하기 위해 필요한 숫자가 무한히 많거든요.

그러므로 수학에서는 차원에 대해 생각할 때 제한이 없습니다. “n차원 공간을 생각하고 이 공간의 원소들은 모두 공간의 조건을 만족한다”고 약속하기만 하면, 나머지는 다 해결되니까요.

4 thoughts on “차원의 개념

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  1. 아, 그리고 글쓰신 분의 명예와 실제 수학적 증명에 오류가 있는지는 아무런 연관관계가 없습니다.

    그건 그렇고, 로봇까지 돌려가면서 이 글 쓰시는데, 이제 좀 다른 수학 정리를 증명하는 것도 재밌지 않을까요? 수학을 왜 명예와 효과로 즐기시나요? 어떤 수학자들은 남들이 어렵게 증명한거 혼자 간단하게 증명하고서는 시시하다고 그냥 버리기도 하던데요.

    수학을 사랑하신다면 1인시위를 할 120일동안 수학문제를 몇가지 더 해결하거나 공부하는게 더 좋았을 겁니다. 아마 저라면 그냥 다른 수학 문제를 풀었겠죠.

  2. 1. 첨부화일이 없습니다.

    2. 저는 공익 법인이 아닙니다. 자연인입니다.

    3. 페르마 정리를 얼마나 간단하게 풀었는지는 모르겠으나, 수학계에서는 항상 먼저 푼 사람만이 공을 독점한다는 것을 모르시나요?

  3. 파일 내용 원안 게재 홍보 요청

    편집담당님. 안녕하세요.

    요청인은 파일내용 저자로서, 첨부파일의 피타고라스 수 공식과 2 가지 페르마 정리 증명을 파일내용 원안대로 게재 홍보하여 주시기를 간곡하게 부탁을 드립니다.

    내용은 2580 년 된 피타고라스 수를 모두 완벽하게 구하는 새 공식을 발견하고, 이 공식을 이용하여 370 년 동안 세계 수학계의 난제였던 페르마 정리를 2 가지 방법으로 간단명료하게 증명한 내용입니다.

    지난 2 년간 다양하게 검증하고, 논문심사과오 시정요구 일인시위 120 일간 충분히 재검토하여, 파일내용에 오류가 전혀 없음을 저의 명예를 걸고 책임 보증합니다.

    파일내용은 1 쪽으로 간명하지만, 수학적인 일반상식을 가진 모든 사람들이 게임, 오락, 취미활동, 두뇌스포츠, 정교한 논리훈련, 교육, 독서와 사색 등의 다양한 효과를 얻을 수 있는 내용이며, 대입 수능시험 후 학생들의 여가 선용에도 많은 도움이 될 수 있는 내용임을 확신합니다.

    규정에 따른 재심불가라면서 침묵중인 공익법인에 대하여서는 심사과오에 따른 모든 결정이 원천무효임으로 부당 업무처리를 내부감사로 시정토록 의뢰하고 있습니다.

    감사합니다.

    첨부 : 피타고라스 수 공식과 2 가지 페르마 정리 증명 1 부. 끝.

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