우선 이 글을 참고하고 와야
한다
.
라그랑지안
(Lagrangian)
이란
,
수학자 라그랑지
(Lagrange)
의
이름이 붙은 어떤 함수이다
.
라그랑지랑 친하냐고 묻는다면
,
뭐 내가 태어나기 전에 죽은 사람이라
본적도 없는 사람인지라 뭐라 할말이 없다
.
비슷한 놈으로 해밀토니안
(Hamiltonian)
이
있다
.
유명
가수 “토니 안”과 전혀 관련이 없는 이것 또한 어떤
함수이다
.
이놈을 이해하기 위해서 이해해야
할 개념이 꽤 많다
.
(
사실 나도 다 이해하진 못했다
.)
라그랑지안을 이해하기 전에
우선 함수가 뭔지를 이해해야 한다
.
왜냐하면 라그랑지안은 함수 중에서도
이해하기 어렵다는 범함수
(functional)
이기
때문이다
.
함수란 두 집합을 연결해주는
규칙이다
.
가령
,
두 집합
A,
B
가 있다고 하면
A
의
어떤 원소
x
를
불러줬을 때
B
의
어떤 원소
y
를
알려주는 것을 함수라 부르고 그것을
f
라는
기호로 쓴다고 하면
,
y=f(x)
라는 식으로 표현한다
.
범함수라고 하는 것은
,
집합
A
가
적당한 벡터공간이고 집합
B
가
실수
(Real number)
로
주어지는 함수들이다
.
예를 들어
,
3
차원 공간에 어떤 벡터
x
가
있을 때
,
이
벡터와 특정한 벡터
(0,
0, 1)
의 내적 값을 함수값으로 갖는
,
그런 함수를 범함수라고 부를 수 있겠다
.
이제 본격적으로 라그랑지안에
대해서 얘기를 해 보자
.
범함수에 대한 이해가 부족한 것 같으면
그때그때 보충해 나가도록 하겠다
.
물리학자들이 중요하게 생각하는
값 중에 “에너지”라고 부르는 것이 있다
.
에너지에는 두가지 종류가 있는데
,
하나는 운동에너지이고 하나는
위치에너지이다
.
질량에너지라고 부르는 형태의 에너지도
있지만 이것은 사실 위치에너지의 한 형태이기 때문에
굳이 얘기하지 않겠다
.
다들 잘 알다시피
,
이 우주에서 어떤 물리학적인 과정이
일어나고 있을 때
,
그 과정이 일어나는 전체 계가 그 과정이
일어나지 않는 다른 부분들과 전혀 상호작용하지
않는다고 하면
,
그 과정이 일어나는 전체 계의 전체
에너지는 항상 같은 값을 갖는다
.
여기서
,
전체 에너지란 각 부분들의 모든
운동에너지와 모든 위치에너지를 계산해서 단순히 다
합친 값이다
.
여기서
,
바로 탁
!
하고 떠올라야 하는 점은
,
에너지라는 것이 앞에서 설명한 범함수에
해당한다는 점이다
.
운동에너지는 “속도”라든가
“운동량”이라는 벡터를 이용해서 하나의 수를 찾아내는
함수이고
,
위치에너지는
“위치”라고 하는 벡터로부터 하나의 수를 찾아내는
함수이다
.
따라서
,
“
전체 에너지”라고 하는 값은 “속도”
벡터와 “위치” 벡터로부터 하나의 수를 찾아내는
함수가 된다
.
그럼
,
속도 벡터 공간과 위치 벡터 공간을
합쳐서 하나의 벡터 공간이라고 치고
,
이 벡터 공간에서 하나의 벡터가 주어지면
그에 맞는 실수 값 하나를 찾아내는 함수가 바로
에너지라고 할 수 있다
여기서
,
위치 벡터와 속도 벡터를 합쳐서 하나의
벡터 공간으로 만든 공간의 이름을 위상 공간
(Phase
space)
이라고 부른다
.
우리가
,
어떤 물체의 움직임을 알고 싶으면
어디로 얼마나 빠르게 움직이는지 알면 충분하기 때문에
위상공간에서 그 물체를 나타내는 점의 움직임을
추적하면 된다
.
라그랑지안이라는 것은 그 움직임을
추적하기 위해 필요한 그 어떤
,
무언가이다
.
자
,
생각해 보자
.
등속 직선운동을 하고 있는 물체의
움직임은 위상공간에서 어떻게 표현될까
?
6
차원의 적당한 공간을 상상할 수 있는
상상력이 절실한 시점이지만
,
수학적으로 엄밀해지지 말자
.
포기하면 편하다
.
어차피 수학적 엄밀성은 고전역학
교과서를 보면 자세히 설명되어 있으므로 여기서는
굳이 안 따지겠다
.
(
그렇다고 틀린 내용은 아니다
.
단지 엄밀한 논증을 거치지 않을
뿐이다
.)
등속직선운동을
하는 물체의 위치는 계속해서 어디론가 가고 있고
,
속력은 고정되어 있다
.
따라서 공간축 방향에 대해서는 평행하게
움직이고 속도축 방향에 대해서는 수직으로 움직일
것이다
.
도저히
상상이 안가면 공간축
1
개
,
속도축
1
개만
써서
2
차원
위상 공간을 그려놓고 직접 그려봐도 된다
.
그 다음으로 복잡한 등속 원운동은
어떻게 표현될까
?
이것은 위상공간에서는 타원운동으로
표현된다
.
이런식으로
점점 복잡한 운동에 대해서 위상공간에서 어떻게
움직이는지 상상해 볼 수 있을 것이다
.
하지만 상상으로는 아무것도
할 수가 없다
.
뭔가를 하기 위해서는
,
좀 더 엄밀한 무언가가 있어야 한다
.
그렇게 하기 위해서 뭔가를 한번 조금
구체적으로 계산해 보자
.
서울에서 부산까지 가는데
,
우리가 경부고속도로를 맘대로 정하고
,
또한 각 구간별 제한속도까지도 맘대로
정할 수 있다고 하자
.
어떻게 하면 가장 효율적으로 도로를
설계할 수 있을까
?
전설에 의하면
,
박정희 대통령이 대한민국 전도를
보고서
,
큰
자를 서울과 부산 위에 놓고
,
수성사인펜으로 직선을 그어서 현재의
경부고속도로의 설계가 완성되었다는 얘기가 있다
.
굳이 이런 말도 안되는 전설을 들먹이지
않더라도
,
상식적으로
직선으로 그어준다면 가장 좋을 것이다
.
그리고 거기에 제한 속도는 안전 운전이
가능한 최고속도로 정해준다면 더할 나위 없이 좋을
것이다
.
이정도
얘기는 물리학을 싫어하더라도 이해할 수 있을 것이다
.
하지만 왜 직선이어야 하는지
,
그것은 아무도 이야기해주지 않는다
.
강원도 지방을 돌아서 가면 뭔가 손해가
나는 걸까
?
바다를
보면서 가면 안됩니까
?
예를 들어서
,
100kg
의 자동차가 초속
100m/s
의
속력으로 달려간다고 하는데
,
경부고속도로가 직선으로 가는 경우와
강원도를 거쳐서 가는 경우를 생각해 보자
.
일단 고속도로 위에 차는 내차 한대밖에
없기 때문에 길이 막히는 일은 없다고 하자
.
아니
,
상식적으로 봐도
,
멀리 돌아가면 기름이 더 많이 들어가지
않을까
?
더
멀리 돌아갔는데 기름이 더 적게 들어간다는 상황은
,
웬만해서는 상상하기 힘들다
.
무엇이 기름을 더 많이 들어가게 한
것일까
?
더
오래 걸렸기 때문일 것 같다
.
가장 기름을 적게 들어가도록 하려면
,
어떤 경로를 선택해야 할까
?
(
다음
글에 계속
…)
(
기름
소모량과
Action
사이의 관계에 대해 생각중입니다
.)
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