라그랑지안? (4)

운동에너지는
대체로 속도의 제곱에 비례한다


.


위치 에너지는 대체로 위치에만 관계가
된다


.


따라서


,


라그랑지안을 세워놓고 라그랑지안 방정식을
유도하면


,


속도에
대해 미분하고 다시 시간에 대해 미분하는 항에서는
곧 “가속도” 항이 나온다


.


위치에너지를 위치에 대해 미분하면 곧
“힘” 항이 나온다


.


만약
이 둘이


=


으로 연결되기
위해서는


,


둘을 빼서


0


이 나와야 한다


.


결국


,


최종적으로
둘을 빼주기 위해서는 처음부터 빼주는 관계가 되어야
한다


.


따라서 운동에너지에서
위치에너지를 뺀 것을 라그랑지안으로 선택한다


.

동시에


,


뉴턴 역학이 라그랑지안 역학과 동등하다는
것도 위와 같이 알 수 있다


.

하지만 라그랑지안
역학은 뉴턴 역학보다 좀 더 어려운 것들을 좀 더 쉽게
할 수 있는 경우가 있다


. (


때로는
뉴턴 역학이 더 쉬운 경우가 있다


.


어느것으로 문제를 풀든


,


일단 풀 수 있다면 그 결과는 같다


.


하지만 풀 수 없을 수도 있다


.)


뉴턴 역학은 좌표계를 어떻게 바꾸더라도


3


차원 데카르트 좌표계를
사용해서 문제를 풀게 된다


.


하지만 라그랑지안 역학은 관찰하려는 대상을
나타내는 수이기만 하면 무엇을 쓰더라도 상관이 없다


.


즉


,


전문용어로
“일반화된 좌표계”를 사용해서 문제를 표현하고 풀
수 있다는 점이다


.


이것이
뉴턴 역학이 양자역학에 가서 살아남지 못했지만


,


라그랑지안은 양자역학 문제를 풀 때에도
도입되는 이유이다


.


뉴턴
역학은 정해진 좌표계가 없는 문제는 풀 수가 없다


.


양자역학에서는 라그랑지안을 잘 설정할
수만 있으면 운동방정식을 유도할 수 있다


.


그것이 그 유명한 슈뢰딩거 방정식


,


디랙 방정식


,


아인슈타인의
중력 방정식 등이다


. (


사실은
이 방정식들도


F=ma


를
“양자역학적”으로 표현한 하나의 형태라고 간주할
수도 있다


.


하지만


F=ma


를 고전역학적으로
정의하는 한 결코 양자역학 문제를 정확히 풀 수는
없다


. )

이제


,


라그랑지안이 갖고 있는 대칭성과 그에
따라서 유도되는 결론에 대해서 살펴보자


.


이 부분에 관한 연구는 유명한 수학자 에미
뇌터가 중요한 정리를 증명하였다


.


바로 “라그랑지안에 대칭성이 있으면 이에
따라서 보존되는 양이 반드시 존재하며


,


그 역도 참이다”는 보존법칙과 대칭성
사이의 관계에 대한 정리이다


.


여기서


,


라그랑지안에
대칭성이 있다는 말이 무엇인지 알아보자


.

대칭성이란


,


무언가를 바꾸었는데 실제로 관찰되는 것이
바꾸기 전과 비교해서 구별되지 않는 것을 말한다


.


가령


,


쌍둥이
끼리 서로 위치를 바꾸더라도 웬만해서는 그것이 잘
구별되지 않는다


.


하지만
쌍둥이라고 하더라도 머리카락 길이는 조금 다를 수
있는데


,


그런 것을
자발적 대칭성 붕괴


(Spontaneous
symmetry breaking)


라고 부른다


.


아무튼 라그랑지안도 대칭성을 가질 수
있는데


,


가령 위치


x


를


-x


로
바꾸는 삽질을 하더라도 라그랑지안이 바뀌지 않는
경우가 있다


.


이런
일은 용수철의 운동을 표현할 때 나타나는데


,


용수철의 움직임을 나타내는 라그랑지안은
속도의 제곱


,


위치의
제곱 항만을 포함하고 있기 때문에


-1


을
곱한 것은 제곱되어서 없어지게 된다


.


따라서 용수철의 운동에서는


x


를


-x


로 바꾸는 작업에
대해 보존되는 양이 하나 존재한다


.


그것의 이름을


Parity


라고
부른다


. (Parity


는 많은
물리적 현상에서 보존되는 법칙이다


.)

대표적으로
우주에서 보존된다고 믿어지는


3


가지
양이 있는데


,


운동량


,


각운동량


,


에너지이다


.


물리학자들은 이


3


가지
보존법칙은 절대로 깨지지 않을 것이라고 믿고 있다


.


초대형 입자 가속기 등을 이용해서 입자들의
충돌 실험을 했을 때


,


물리학자들이
가장 먼저 검토하는 부분중의 하나가 이러한 보존법칙이
얼마나 깨졌는지 계산하는 것이다


.


대부분의 경우 실험 오차 내에서 모두 잘
맞는다


.


가끔 보존법칙이
틀린거 아닐까 의심될 정도로 실험 오차를 벗어나서
안 맞는 경우가 있는데


,


그때는
항상 우리가 모르고 있던 새로운 입자가 발견되었다


.


대표적으로


,


그런식으로
발견된 입자가 중성미자


(Neutrino)


이다


.

그럼 이 세가지
보존되는 양들은 각각 어떤 삽질에 대한 대칭성일까


?


운동량을 갖고 있는 물체를 잘 관찰하면


,


여기에 있던 것이 잠시후에는 저기에 있다


.


여기에 있든 저기에 있든 운동량이 같다는
것은


,


위치에 대한
움직임이 운동량에 영향을 주지 않는다는 뜻이다


.


즉


,


운동량은
위치 변화


(


평행이동


,
Parallel translation)


에 대한 불변양이다


.


각운동량은 물론 회전


(rotation)


에
대한 불변양이 된다


.


에너지가
도대체 무엇의 불변양인지 궁금할 수 있는데


,


외부와 상호작용하지 않는 계를 그냥
관찰하다보면 에너지가 보존된다는 것을 알 수 있다


.


그냥 관찰할 때


,


무엇이
변하는지 가만히 생각해 보자


.


문득


,


아무것도
안하고 시간만 낭비하고 있다는 생각이 들 것이다


.


그렇다


.


에너지는
시간이 지나가는 것에 대한 불변양이다


.

운동량


,


각운동량


,


에너지
외에 보존되는 양이 하나 더 있다


.


바로


CPT


값이다


.
CPT


란


3


가지
서로 다른 변환을 연속적으로 적용시켰을 때에 관한
이야기이다


. P


는 앞에서
말한


Parity


인데


,


물론


x


를


-x


로 바꾸는 변환을
말한다


. T


는 시간
역전


(Time reversal)


이다


.


흘러가는 시간을 과거


->


미래로
한다면


,


이것을
미래


->


과거로 바꾸는
것이다


.


이것이 어떻게
가능하냐고


?


그냥
변수


t


를


-t


로
바꾸면 된다


. (


실제로는


t


를


-t


로
바꾸기 위해서 해야 할 삽질이 좀 더 있긴 하다


.


상대론적으로 올바르게 하기 위해서는
말이다


.) C


는 전하
반전


(Charge conjugation)


이다


.


전하라는 것은 힘에 반응하는 정도를 뜻하는데


,


전자기력


,


약한
상호작용


,


강한
상호작용에 각각 전하가 붙어 있다


.


쉽게 말해서


+


전기가


–


전기로


,
–


전기가


+


전기로
바뀌는 것을 뜻한다


.


물론
전하가 없는 것들은 바뀌지 않는다


.


우리 우주를 설명하는 라그랑지안은


CPT


변환에
대해서 대칭이 되도록 작성한다


.


물론 실험적으로도 계속 검증하고 있는데


,


아직까지


CPT


변환이
틀린 것은 발견되지 않고 있다


.
CP


대칭성도 거의 깨지지 않는 양인데


,


아주 조금 깨지는 것이 발견되고 있다


.
CP


대칭성과


P


대칭성의
붕괴에 대해서는 다른 글에서 좀 더 재밌는 얘기를 할
수 있을 것이다.

다음은 라그랑지안의 친구인 해밀토니안이다.