왜?

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일단, 지수함수가 미분과 적분에 대해서 고유함수라는 것은 알려져 있다. 아무튼 미분과 적분은 함수 공간에서의 선형변환인데, 바로 그 선형변환에 대한 고유함수이다.

함수 공간을 벡터 공간이라고 할 때, 두 함수를 곱해서 전체 정의역에 대해 적분하는 것은 두 함수의 내적을 구하는 것이다. 만약 둘중 하나가 basis벡터라면, 그 벡터의 특정 방향에 대한 좌표값을 알 수 있게 된다. 그럼, 지수함수가 어째서 그런 함수공간의 basis를 구성하는지 살펴보자.

basis가 되기 위해서는, 집합의 원소들이 서로 선형 독립이어야 하고, 집합의 원소들의 선형 결합으로 모든 원소를 나타낼 수 있어야 한다.

1. 선형 독립

exp(ikx)를 x에 대한 함수라 하고 k를 인덱스라고 부르자. 그럼 인덱스가 다르면 다른 함수가 된다. 이 함수들은 다음과 같은 성질을 만족한다.

$\int exp(ikx)exp(-ilx) dx = \delta(k-l)$

$\delta(x)$는 x=0이면 정의되지 않지만, x=0이 아닌 모든 구간에서 0으로 정의되며, $\int \delta(x) dx = 1$을 만족하는 함수이다. 이름은 디랙의 델타 함수이다.



<sup>[각주:

1

]</sup>



크로네커 델타의 연속함수 버전인데, 아무튼, 어떤 특정한 k에 대해서 선형 독립이 아니라고 하자. 그럼 다음과 같이 쓸 수 있어야 한다.

$exp(ikx)=\sum A(n)exp(inx) $

단, 위의 급수에서 n=k인 경우는 빼자.

그럼, 다음과 같은 마술을 부려볼 수 있게 된다.

$\delta(k-k)=\int exp(ikx)exp(-ikx) = \int \sum A(n) exp(inx) exp(-ikx) dx= \sum A(n) \int exp(inx)exp(-ikx)dx = \sum A(n) \delta(n-k)$

근데 난 n=k인 경우는 빼자고 했다. 따라서, 이 계산의 좌변은 0이 아니고 우변은 0이다. 이런 뭣같은 일이 일어난 이유는 전부 애초에 얘들이 선형 독립이 아니라고 가정했기 때문이다. 따라서 그 가정을 부정하고 편한 마음으로 이들이 선형 독립이라는 것을 받아들이자.

아, 일단 n이 연속인 경우도 다뤄야겠다. 그럼 그대로 다음과 같이 바꾸면 된다.

$\delta(k-k)=\int exp(ikx)exp(-ikx) dx = \int \int A(n) exp(inx) exp(-ikx)
dn dx= \int A(n)dn \int exp(inx)exp(-ikx)dx = \int A(n) \delta(n-k) dn$

물론 여기서도 적분할 때 n=k인 딱 한점만 빼고 다 지나간다.

2. 표현 가능성

어떤 함수 f(x)가 있다고 하자. 그럼 이 함수를 exp(ikx)로 표현하고 싶으면 일단 다음과 같이 하자.

$f(x)=\int \hat{f}(k) exp(-ikx) dk$

물론, 여기서 $\hat{f}(k) = \int f(x) exp(ikx) dx$ 이다.

이게 왜 되나 살펴보자.

$f(x) = \int \int f(y) exp(iky) dy exp(-ikx) dk = \int\int f(y) exp(ik(y-x))dy dk = \int f(y)\delta(y-x) dy $

근데, 디랙의 델타 함수는 다음과 같은 성질이 있다.

$\int \delta(y-x) f(x) dx = f(y)$

y에 뭐가 있든지간에 f(x)에다가 y를 대입해주는, 뭐 그런 성질이다. 따라서 위의 등식은 성립한다. 적분 순서를 바꿔주는건 엄밀히 설명하지는 않았지만



<sup>[각주:

2

]</sup>



아무튼 수렴하면 그래도 된다는 것이 알려져 있다.

따라서 exp(ikx)는 함수 공간의 basis로 쓸 수 있다.

문제가 답이 없을(?) 것 같아서 함수를 고쳐둔다. 물론 위의 f(x)=x에 대한 답도 한번 따져봐야겠다.

힌트가 숨어있음. -_-;

사실 나도 조금 두려운게 낚시해놓고서 내가 아는 방법으로 계산을 해봤는데 값이 발산하거나 제대로 안되면 어쩌지 하는 거지만. 논문도 아닌데 뭐 어떤가…ㅋ

—-해설—-

어쨌든 답은 푸리에 변환과 연관이 있다.

$\hat{f}(k)=\int f(x)\exp(ikx)dx$

라고 하자.

그럼 이것의 역변환은

$f(x)=\int \hat{f}(k)\exp(-ikx)dk$

이다. f(x)를 x에 대해서 미분해 보자.

$f'(x)=\int \hat{f}(k) (-ik) \exp(-ikx)dk$

적분 안에 있는 x는 적분변수인 k와는 무관한 변수이기 때문에 그냥 미분해도 된다. 그렇게 그냥 미분했더니 -ik가 달라붙었다.

두번 미분해 보자.

$f”(x)=\int \hat{f}(k) (-ik) (-ik) \exp(-ikx)dk$

당연히 -ik가 두번 나온다.

n번 미분해 보면 어떻게 될지 뻔하다.

$f^{(n)}(x)=\int \hat{f}(k) (-ik)^n \exp(-ikx)dk$

이래도 됩니까? 라고 물어볼 수도 있지만, 적분이나 급수는 수렴하기만 한다면 뭐든지 해도 된다. (물론 난 아직 수렴성은 증명하지 않았다. 사실 이게 수렴하는지 어떤지에 대해서는 확신이 없다. 증명해본 기억이 없는 듯…)

물론 아직까지 n은 정수다. n에 음수를 넣으면 적분도 할 수 있다. (수렴한다면…)

그럼 혹시 n에 유리수를 넣어도 될까? (아마도) 된다.

그러니까, 결국 0.5번 미분한 함수라는 것은

$f^{(0.5)}(x)=\int \hat{f}(k) \sqrt{-ik} \exp(-ikx)dk$

를 계산하면 된다.

그나저나 내가 본문에 제시한 함수의 푸리에 변환을 어떻게 해야 하는지는 정확히 모르겠다. 원래 가우스 함수는 푸리에 변환에 대해서 불변인 함수이기 때문에 계산이 쉽긴 한데, 지금 계산하기엔 (마음 속의) 여백이 부족하다. 언젠가 이 문제에 대해서 답을 쓸 날이 오겠거니 싶다.

친한 친구의 연구실 친구가 해준 얘기라고 그 친한 친구로부터 전해들은 이야기.