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Cauchy-Schwarz 부등식(이하, 코시 부등식)은, 세계에서 가장 유명한 부등식 중의 하나라고 해도 될 것이다.

(물론 개인적으로는 불확정성 원리에 나오는 부등식을 더 좋아하지만, 그 부등식도 코시 부등식에서 유도된다고 할 수 있으니 어쨌든 유명하다는 건 사실이라고 해야겠다. 어쨌거나 유명하건 말건 별 문제는 없다.)

이번 시간엔 이걸 증명해 보자. 음…굳이 증명하는 이유는, 내가 스트레스가 쌓여서 좀 쉬운 수학을 해보고 싶기 때문이다. 요즘 “양자역학의 수학적 개념(Mathematical Concepts of Quantum Mechanics)”라는 책을 읽고 있는데 수많은 증명이 코시 부등식에서 유도되고 있다. 골치아픈 수학은 좀 집어던지고, 쉬운 2차 방정식부터 시작해 보자.

고등학교때인가 중학교때인가, 2차방정식을 처음 배우고 나면 다음과 같은 연습문제를 자주 보게 된다.

“다음과 같은 이차방정식이 있다.

$ax^2 + bx + c = 0$

이 이차방정식이 실수인 해를 갖지 않기 위한 $a, b, c$의 조건은?”

뭐, 이건 근의 공식에서 제곱근 기호 안에 들어가 있는 판별식이 음수가 되면 된다. 고등학교때 공부를 열심히 해본 사람이라면 알 것이고, 모르겠으면 지나가는 고등학생을 붙들고 (이과생이 좋겠지만 문과생도 알 것 같다.) 물어보자.

$b^2 – 4ac < 0$

위의 조건을 만족하는 $a, b, c$라면 어쨌든 그런 이차방정식은 실수인 해를 갖지 않는다. 증명은 각자 해보자. 반례를 찾고 싶으면 찾아보는 것도 좋겠지만, 시간 낭비에 불과하다는 것을 자신있게 말해주고 싶다.

코시 부등식의 증명은 위의 보조정리가 중요하게 사용된다.

코시 부등식을 증명하려면, 일단 우리가 갖고 놀게 될 대상을 정해야 한다. 그냥, 쉽게 말해서 벡터 공간이라고 하자. 말이 쉬워서 벡터 공간이지, 벡터 공간의 예는 엄청나게 많다. 따라서 코시 부등식의 적용 범위도 엄청나게 넓다.

벡터 공간은 다음과 같은 성질을 갖고 있다. (정확한 정의는 선형대수학 책을 찾아보도록 하자.)

1. 벡터 공간 안에 있는 원소는 벡터다.

2. 벡터를 더한 것도 벡터다. 이때, 벡터들끼리의 덧셈은 교환법칙과 결합법칙이 적용된다.

3. 벡터의 길이를 바꾼 것도 벡터다. 벡터의 길이를 바꾸고 여기에 다른 벡터를 더하는 연산 사이에는 분배법칙이 적용된다.

벡터 공간 중에서, 좀 특별한 공간이 있는데, 벡터들 사이의 각도와 길이를 잴 수 있는 공간이 있다. 이런 공간을 특별히 내적 공간(Inner product space)이라고 부른다. 당신의 내면을 말하는 것이 아님에 유의하자.

내적이라는 것은 두개의 벡터를 정해줬을 때 적당한 수를 알려주는 함수다.

벡터들 사이의 내적을 다음과 같이 표시하자. a와 b를 두 벡터라고 한다면 그 사이의 내적은

내적(a, b)

처럼 표시해 볼 수 있겠다. 그럼, 이 내적이라는 함수는 벡터 두개를 넣어주면 적당한 수 하나를 알려준다. 그 수는 일반적으로 복소수다. 복잡한 얘기는 됐고, 내적 함수에는 다음과 같은 특징이 있다.

내적(a,b) = 내적(b,a)

내적(a+b,c) = 내적(a,c) + 내적(b,c)

내적(ka,b) = k내적(a,b)

만약 a가 0벡터가 아니면, 그리고 그런 경우에는 언제나 내적(a,a) > 0이 된다.

내적 함수를 이용하면 벡터의 길이와 두 벡터 사이의 각도를 알 수 있다.

벡터a의 길이의 제곱 = 내적(a, a)

뭐, 여기선 그다지 의미는 없지만 각도는 다음과 같이 알 수 있다.

각도(a,b) = 내적(a,b)/(길이(a)*길이(b))

어쨌든. 어떤 두 벡터 a, b에 대해서, 다음과 같은 벡터를 생각할 수 있다.

c = a – tb

여기서 t는 그냥 어떤 수이고, b의 길이를 t만큼 바꿨다는 뜻이다. (t가 복소수가 될 수도 있지만, 그냥 그러려니 하자.)

c의 길이를 재보면

길이의 제곱(c) = 내적(c, c) = 내적(a-tb, a-tb) = 내적(b,b)*t*t – 2t(내적(a,b)+내적(b,a))+내적(a,a)

복잡해 보이지만 사실은 그냥 t에 관한 2차방정식이다. 여기서, 길이의 제곱은 c가 0이 아닌 한 언제나 양의 실수가 되기 때문에, t를 어떻게 고르더라도 양수가 나와야만 하고, 따라서 이 2차방정식의 근이 존재하면 안된다.

이제 코시 부등식이 증명된다.

멋있게 보이려고 위키 백과의 수식을 긁어왔다.

어쨌든 이 부등식은 증명은 보다시피 의외로 쉬운데, 그 활용은 너무나 광범위하다. 이루 말할 수 없이 중요한 부등식이다. 오늘 내가 양자역학의 수학적 개념 책에서 본 것만 해도 세군데인가 있는 것 같다.

위의 내용은 일반적으로 사용하는 증명이다. 검색해 보니까 좀 더 우아한 증명도 있다.

http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/New%20Problems/CSNewProof/CauchySchwarzInequalityProof.pdf

예를 들어보자.

a=(1,4)와 b=(4,2)가 있다.

내적(a,b) = a1*b1+a2*b2 라고 해 보자.

내적(a,b) = 1*4+4*2 = 12

내적(a,a) = 1*1+4*4 = 17

내적(b,b) = 4*4+2*2 = 20

내적(a,b)의 제곱 = 144

내적(a,a)*내적(b,b)=340

따라서, 144<340
부등식은 성립한다.

내적 함수가 너무 많이 쓰는 거라서 원래 그런거라고 생각한다면, 다음과 같이 내적을 잡아보자.

내적(a,b) = 5*a1*b1 + 2*a2*b2 + 3*a1*b2 + 3*a2*b1

여기에 위의 벡터를 넣자. (위의 내적 함수가 앞에서 내가 말한 조건을 만족한다는 건 쉽게 확인할 수 있다.)

내적(a,b) = 5*1*4 + 2*4*2 + 3*1*2 + 3*4*4 = 20+16+6+48 = 90

내적(a,a) = 5*1*1 + 2*4*4 + 3*1*4 + 3*4*1 = 5+32+12+12 =61

내적(b,b) = 5*4*4 + 2*2*2 + 3*4*2 + 3*2*4 = 80+8+24+24 = 136

내적(a,b)의 제곱 = 8100

내적(a,a)*내적(b,b) = 8296

어쨌든 8100<8296 이다. 뭐, 아무 벡터라도 좋고, 내적을 위와 같이 잡지 않고 다르게 잡아도 좋다. (앞에서 내가 말한 내적이라는 함수의 조건을 만족하기만 하면 된다.) 어쨌든 성립한다. ㅋㅋㅋ

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