2주만의 휴식이다.
누가 그랬던가. 소중한건 없어져봐야 안다고…
휴일이 얼마나 소중한지 알겠다.
그리고, 소중한건 없어져봐야 안다는건 다 헛소리고 개소리다.
난 나에게 소중한것들이 얼마나 소중한건지 잘 알고 있으니까 제발 없애지 말아줘…
꿈 속에서 초등학교 교사가 되는 꿈을 꾸고 있었다. 내가 담당한 반은 4학년 10반.
왜 그게 그렇게 된건진 모르겠지만, 어쨌든 기간제 교사랄까 뭐랄까 그 비슷한 단기간동안 담임을 맡게 된 거다.
꿈 속에서, 나를 예전 회사에서 알게 된 염 대리님이 안내를 해 주셨다. 이분도 초등학교 교사로 찬조출연했다.
근데 학교 건물이 좀 막장이었다. 건물이 변신하는 최첨단 건물. 바로 눈앞에 반을 봤는데 그 반이 딴데로 이동해 버리는 당황스러운 상황을 마주치고, 제시간에 맞춰 갔는데 지각하는 사태가 벌어졌다.
어쨌거나 가서 수업을 시작하려는데 애들이 말을 안듣는다. 광주에서 교대 다니는 친구가 생각났다. 그 친구를 불러오고 싶었다. 하지만 일단은 이 위기를 넘어가야 했다.
음…
이정도가 기억나는 부분이다.
18살에 박사학위를 받았으니 (게다가 박사과정 복수전공 -_-; ) 노력형 천재다.
그에게 내가 가장 부러워 하는 건 18살에 박사학위를 받은게 아니라, 자기가 하고 싶은 연구를 하고 있다는 것이다.
난 점점 내가 뭘 연구하고 싶어했는지 잊어가고 있다. 이것은 마치 내가 누구였는지 잊어가는 것과 같다.
분명한건, 난 아무래도 레이저-플라즈마 물리학은 안할 것 같다는 점이다. 아마 안할거다. 너무 많은걸 알아버렸다.
뭐해먹고 살지…
네이버 국어사전을 찾아봐도 안나오고…
“괜찮다”는 국어사전에 있는데 말이다.
근데 나도 무슨 소린지 잘 모르겠다.
주당 40시간이 기본이고, 초과근무에 대해서는 50%만큼 더 쳐주는거니까 내가 원래 받아야 할 연봉은 지금의 3배 정도…
난 무진장 싸게 일하는 거구나.
물론 배우는 것도 있고, 나한테 도움이 되는 것도 있고, 이득이 되는 것도 있다.
하지만 그건 그거고, 일한만큼은 월급을 받고 싶다…
배부른 소린가. 실업난이 심화되는 상황에서는.
주말 내내 야근하고 재택야근 과제까지 받아와서 짜증이 가득 찬, 그런 상황이랄까…
2. 댓글에 연연하지 않는 블로깅.
3. 마음이 편해지는 블로깅.
물론 이 목표는 내 목표다.
이번 시간엔 이걸 증명해 보자. 음…굳이 증명하는 이유는, 내가 스트레스가 쌓여서 좀 쉬운 수학을 해보고 싶기 때문이다. 요즘 “양자역학의 수학적 개념(Mathematical Concepts of Quantum Mechanics)”라는 책을 읽고 있는데 수많은 증명이 코시 부등식에서 유도되고 있다. 골치아픈 수학은 좀 집어던지고, 쉬운 2차 방정식부터 시작해 보자.
고등학교때인가 중학교때인가, 2차방정식을 처음 배우고 나면 다음과 같은 연습문제를 자주 보게 된다.
뭐, 이건 근의 공식에서 제곱근 기호 안에 들어가 있는 판별식이 음수가 되면 된다. 고등학교때 공부를 열심히 해본 사람이라면 알 것이고, 모르겠으면 지나가는 고등학생을 붙들고 (이과생이 좋겠지만 문과생도 알 것 같다.) 물어보자.
위의 조건을 만족하는 $a, b, c$라면 어쨌든 그런 이차방정식은 실수인 해를 갖지 않는다. 증명은 각자 해보자. 반례를 찾고 싶으면 찾아보는 것도 좋겠지만, 시간 낭비에 불과하다는 것을 자신있게 말해주고 싶다.
코시 부등식의 증명은 위의 보조정리가 중요하게 사용된다.
코시 부등식을 증명하려면, 일단 우리가 갖고 놀게 될 대상을 정해야 한다. 그냥, 쉽게 말해서 벡터 공간이라고 하자. 말이 쉬워서 벡터 공간이지, 벡터 공간의 예는 엄청나게 많다. 따라서 코시 부등식의 적용 범위도 엄청나게 넓다.
벡터 공간 중에서, 좀 특별한 공간이 있는데, 벡터들 사이의 각도와 길이를 잴 수 있는 공간이 있다. 이런 공간을 특별히 내적 공간(Inner product space)이라고 부른다. 당신의 내면을 말하는 것이 아님에 유의하자.
내적이라는 것은 두개의 벡터를 정해줬을 때 적당한 수를 알려주는 함수다.
벡터들 사이의 내적을 다음과 같이 표시하자. a와 b를 두 벡터라고 한다면 그 사이의 내적은
처럼 표시해 볼 수 있겠다. 그럼, 이 내적이라는 함수는 벡터 두개를 넣어주면 적당한 수 하나를 알려준다. 그 수는 일반적으로 복소수다. 복잡한 얘기는 됐고, 내적 함수에는 다음과 같은 특징이 있다.
내적 함수를 이용하면 벡터의 길이와 두 벡터 사이의 각도를 알 수 있다.
뭐, 여기선 그다지 의미는 없지만 각도는 다음과 같이 알 수 있다.
어쨌든. 어떤 두 벡터 a, b에 대해서, 다음과 같은 벡터를 생각할 수 있다.
여기서 t는 그냥 어떤 수이고, b의 길이를 t만큼 바꿨다는 뜻이다. (t가 복소수가 될 수도 있지만, 그냥 그러려니 하자.)
c의 길이를 재보면
복잡해 보이지만 사실은 그냥 t에 관한 2차방정식이다. 여기서, 길이의 제곱은 c가 0이 아닌 한 언제나 양의 실수가 되기 때문에, t를 어떻게 고르더라도 양수가 나와야만 하고, 따라서 이 2차방정식의 근이 존재하면 안된다.
이제 코시 부등식이 증명된다.
멋있게 보이려고 위키 백과의 수식을 긁어왔다.
어쨌든 이 부등식은 증명은 보다시피 의외로 쉬운데, 그 활용은 너무나 광범위하다. 이루 말할 수 없이 중요한 부등식이다. 오늘 내가 양자역학의 수학적 개념 책에서 본 것만 해도 세군데인가 있는 것 같다.
위의 내용은 일반적으로 사용하는 증명이다. 검색해 보니까 좀 더 우아한 증명도 있다.
CauchySchwarzInequalityProof.pdf에 액세스하려면 클릭하세요.
예를 들어보자.
a=(1,4)와 b=(4,2)가 있다.
내적(a,b) = a1*b1+a2*b2 라고 해 보자.
내적(a,b) = 1*4+4*2 = 12
내적(a,a) = 1*1+4*4 = 17
내적(b,b) = 4*4+2*2 = 20
내적(a,b)의 제곱 = 144
내적(a,a)*내적(b,b)=340
따라서, 144<340
부등식은 성립한다.
내적 함수가 너무 많이 쓰는 거라서 원래 그런거라고 생각한다면, 다음과 같이 내적을 잡아보자.
내적(a,b) = 5*a1*b1 + 2*a2*b2 + 3*a1*b2 + 3*a2*b1
여기에 위의 벡터를 넣자. (위의 내적 함수가 앞에서 내가 말한 조건을 만족한다는 건 쉽게 확인할 수 있다.)
내적(a,b) = 5*1*4 + 2*4*2 + 3*1*2 + 3*4*4 = 20+16+6+48 = 90
내적(a,a) = 5*1*1 + 2*4*4 + 3*1*4 + 3*4*1 = 5+32+12+12 =61
내적(b,b) = 5*4*4 + 2*2*2 + 3*4*2 + 3*2*4 = 80+8+24+24 = 136
내적(a,b)의 제곱 = 8100
내적(a,a)*내적(b,b) = 8296
어쨌든 8100<8296 이다. 뭐, 아무 벡터라도 좋고, 내적을 위와 같이 잡지 않고 다르게 잡아도 좋다. (앞에서 내가 말한 내적이라는 함수의 조건을 만족하기만 하면 된다.) 어쨌든 성립한다. ㅋㅋㅋ
일주일 내내 야근했는데…
주말에 출근하라고 할 때…
그나마 다행인건 밤샘은 안했다는 건가.
추가 : 토요일 야근 후 일요일 출근 확정. -_-;
추가2 : 음…좋은 점이랄까, 하루종일 일본에서 온 러시아 아저씨랑 영어로 대화했다는 점. 이제 영어로 대화하는것에 대해 두려움이 사라졌다. 단지, 여전히 영어로 길게 말하면 못알아듣는게 문제일 뿐. 내가 말하고 싶은건 그럭저럭 말할 수 있는 것 같다. 어차피 쓰는 단어가 그놈이 그놈인지라…
운하에 전기보트를 띄워서 이산화탄소를 줄인다는 발상.
오…멋지군. 근데 전기보트를 띄우려면 운하가 필요하잖아.
그럼 운하 파는 공사를 할 때 나오는 이산화탄소는 어쩌려고?
중장비 안쓰고 손으로 삽질하게? -_-;