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제곱해서 i가 되는 수 찾기

작성자

snowall

in"의 한국어 번역은 "안"입니다.

이런 방정식이 있다.

여기서 z는 복소수이고, i는 -1의 제곱근인 허수단위이다. 즉, 네제곱해서 -1이 나오는 복소수를 찾으라는 것이다.

풀이1

a와 b를 실수라고 할 때, 복소수 z는 두 실수를 이용하여 나타낼 수 있다.

복소수의 상등에 의해 실수부분과 허수부분이 같아야 하므로

b를 a에 대입하면 (a를 b에 대입하든가)

이 때, a와 b의 부호가 다르면 2ab=1>0이 성립되지 않으므로 a와 b의 부호가 같아야 한다. 따라서.

근이 두개인 이유는 2차방정식이니까.

풀이2

오일러 공식에서,

일단, 크기에서 r=1 (r>0이므로 r=-1은 제외한다.)

첫번째 등호에서,

따라서

이 경우

두번째 등호에서,

이 경우

풀이3

근의 공식 이용.

근의 공식을 그대로 적용하면

두번째 줄에서는 무에서 유를 창조하는 인수분해가 사용되었다.

물론 풀이1과 풀이2의 답은 같다. 드 무아브르의 공식을 잘 사용해 보자.

코멘트

“제곱해서 i가 되는 수 찾기”에 대한 8개 응답

  1. 우예림 아바타
    우예림

    혹시 제곱해서 1+i같은 복소수가 되는 수도 있을까요? 너무 오래전 게시물이지만 댓글 달아봅니다

    응답
    1. 아바타
      익명

      복소수에서 찾는다면 당연히 1+i의 제곱근도 존재합니다.

      응답
  2. ㅋ 아바타
    ㅋ

    오 감사합니다 ㅋㅋ

    응답
  3. snowall 아바타
    snowall

    일단 -1의 세제곱근은 -1이 있으니까 굳이 따로 정의할 필요가 없겠죠. 아마 -1의 세제곱근 문제는 옛날 사람들도 별로 신경쓰지 않았을 거예요. 물론 복소수 영역에 있긴 하죠. -1의 제곱근은 실수 집합에 없다는 걸 증명할 수 있으므로, 대수적으로는 -1의 제곱근을 실수 집합에 끼워넣은 후, 대수적 완전체(algebraic closure)로 만들어 주면 복소수가 됩니다. 원래 잘 정의 돼요. ㅎㅎ

    응답
  4. 하루 아바타
    하루

    (-1)^1/2 , (-1)^1/3 는 어떻게 정의하는게 좋을까요…? 사이트가 폐쇄되서

    http://blog.naver.com/at3650/40104053365 에 제가 그냥 간략하게 요약해놓은 걸로 마무리했는데… 아직까지도 불확실해서요..(나중에 때가 되면 배운다고 해서 손을 놓긴 했지만…ㅎ)

    응답
  5. goldenbug 아바타
    goldenbug

    아….. 3배각이 아니라 2배각이군요. 제곱이니까…^^;;;

    죄송… Z^3 = i 로 착각을…^^;

    응답
  6. snowall 아바타
    snowall

    아뇨, 45도인데요..ㅎㅎ

    응답
  7. goldenbug 아바타
    goldenbug

    음….. 허수의 곱을 허수평면에서의 회전으로 생각한다면…..

    이 문제의 답은 길이가 1이고, 3 배각이 π/2인 숫자겠네요. ^^

    응답

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