쌍대성과 불확정성

지난 글에서 쌍대인 관계에 있는 변수들 사이에서는 불확정성 관계가 성립한다고 언급한 적이 있다.

http://melotopia.net/b/?p=9218

왜 그렇게 되는 것일까?

푸리에 변환에서 대표적으로 나타나는 현상인데, 일단 이렇게 살펴보자. 가령 파라미터를 x라고 잡는다면, x의 주기에 해당하는 k가 존재하여 x와 k 사이에는 불확정성 관계가 성립한다. 왜 그렇게 되는 것일까? x를 나타내는 연산자는 x그 자체이고, 같은 공간에서 k를 나타내는 연산자는 d/dx가 되어서 x와 교환법칙이 성립하지 않는다.

양자역학에서 포괄적으로 보면 두 연산자 사이의 교환법칙이 성립하느냐 아니냐가 불확정성 관계가 있느냐 아니냐를 정하는 원인이다. 위의 이야기와 같이 생각해 본다면, 어떤 두 연산자 사이에 쌍대 관계가 성립한다면 반드시 그 두 연산자는 교환법칙이 성립하지 않는다는 뜻이다.

그래서…대체 왜 그렇게 되는 것일까?

양자역학에서 연산자들은 그 자체로 벡터 공간을 이룬다. (좀 더 정확히 말하면 Lie algebra라는 대수적 구조를 갖는데 그렇게까지 어렵게 이야기하고 싶지는 않다.) 그럼, 여기서 쌍대성은 어떻게 정의할 수 있을까? 벡터공간에서 그 벡터공간에 대응되는 쌍대공간을 찾아내려면 그 벡터에 대해서 선형 범함수(Linear functional)를 찾아내면 된다. 여기서 말하는 선형 범함수란 벡터공간의 원소로부터 실수를 하나 가져다 주는 연산이 된다. 가령, 우리가 흔히 생각하는 3차원 벡터 공간의 벡터 v에 대해서는, “어떤 벡터 w를 가져다가 내적하는 연산”이 쌍대인 벡터가 되고, 이런 연산들을 모아둔 공간이 쌍대공간으로 구성된다. 물론 쌍대공간은 벡터공간이다. 그리고 쌍대공간의 쌍대공간은 원래의 벡터공간이다.

양자역학에서 사용하는 상태공간인 힐베르트 공간 역시 그 쌍대를 갖고 있는데, 브라 공간과 켓 공간이 바로 그 예가 된다. 그 둘은 서로 쌍대인 공간이 된다. 이 공간에 작용하는 연산자가 양자역학에서 사용하고 있는 그 연산자들이다. 가장 유명한 연산자 중 하나인 사다리 연산자 A와 A+를 생각해 보자. 여기서 A는 소멸 연산자이고 A+는 생성 연산자이다. 기호가 어색하겠지만 그렇다 치자. A와 A+가 있을 때, 둘 사이에 교환법칙이 성립하지 않는 것은 유명한 사실이다. 둘은 쌍대인가? 그렇다. 어떻게 쌍대인가? A가 켓 공간에서 소멸 연산자로 작용한다고 하면, A+가 켓 공간에 작용할 때는 생성 연산자겠지만 A+를 브라 공간에 적용하면 소멸 연산자로 작용한다. 그 반대도 마찬가지다. 연산자의 쌍대는 이런 의미에서 쌍대로 생각할 수 있을 것이다.

위의 x와 k연산자에서도 마찬가지 관계가 성립하는데, 만약 위치 공간인 x에 대해서 파동함수를 나타냈다면 k연산자는 d/dx가 된다. 반대로, 그의 쌍대공간인 주파수 공간 k에 대해서 파동함수를 나타냈다면, x연산자가 반대로 d/dk로 변신한다. (참고로 이 관계는 사다리 연산자인 A와 A+에 대해서도 마찬가지로 성립한다.)

자, 이야기의 본질로 돌아와 보자. 어째서 쌍대인 연산자들 사이에서는 교환법칙이 성립하지 않는 것일까? 물론 예외는 많이 있다. 아무것도 하지 않는 항등 연산자(Identity)의 경우 쌍대인 연산자가 자기 자신이므로 교환법칙이 성립한다. 또한, 자기 수반 연산자(Self adjoint operator)의 경우에도 쌍대인 연산자가 자기 자신이므로 교환법칙이 성립한다. 그렇다면, 질문을 바꿔봐야 한다. 자기 수반 연산자가 아닌 연산자들은 그 쌍대 연산자와 절대로 교환법칙이 성립하지 않는가?

어떤 연산자 B가 B=B+인 경우는 둘이 교환법칙이 성립한다는 것이 자명하므로, 그 역으로 B가 B+와 교환법칙이 성립한다면 B=B+이어야만 한다는 것을 증명하면 위의 이야기가 필요충분조건이 된다.

어떻게 증명하지? (다음에 이어서…)

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