도화선으로 임의의 시간재기 증명1

그럼, b(n)의 합은 1/2에 수렴한다.

증명

조건1)로부터 a(n-1)-a(n) = b(n-1)+b(n)

조건1)과 조건2)로부터 a(n-1)-a(n)>0이므로, a(n-1)>a(n) 이다.

따라서 이 수열은 단조감소 수열이다.

단조감소 수열이 아래로 유계이므로 이 수열은 수렴한다.

a(n)>b(n)인데 a(n)이 수렴하므로 b(n)도 수렴한다.

b(1)+b(2)+ … + b(n) = B(n) 이라 하면

2B(n) – b(1) – b(n) = a(1)-a(2)+a(2)-a(3)+a(3)-a(4)+ … – a(n-1) + a(n-1) – a(n) = a(1) – a(n)

n을 무한대로 보내는 극한을 취하면

2B – b(1) = a(1)

2B = a(1)+b(1) = 1

B = 1/2

증명 끝.

위의 사실로부터, 도화선으로 시간재기 문제에서, 짧은 쪽이 다 탈 때마다 계속해서 임의의 중간 지점에 불을 붙이는 짓을 무한히 반복할 경우, 그때 측정되는 시간이 1/4시간이라는 사실을 증명할 수 있다.

(계속…)