한나라당의 국회의원이 전교조 교사가 많은 곳이 수능 성적이 떨어진다는 주장을 제기하고 있다.

전교조 교사가 많은 곳이 수능성적이 떨어지는 관계가 있다는 주장을 하는데 통계를 인용하고 있다. 뭐, 그게 사실이든 아니든 주장을 검토하기 위해서 몇가지 지적한다.

1. 그가 분석한 것은 상관관계지 인과관계가 아니다. 전교조 성적과 수능성적이 음의 상관관계가 있다는 “사실”을 말할 수 있을 뿐, “전교조가 많기 때문에 수능성적이 떨어졌다”는 주장을 검증하는 통계자료는 아니다. 가령, 위의 주장이 참이라면 “수능성적이 낮기 때문에 교사들이 전교조에 많이 가입하였다”는 주장 또한 가능하기 때문이다.



<sup>[각주:

1

]</sup>

2. 하나의 어떤 원인이 있어서, 그 원인이 수능 성적을 낮추고 동시에 전교조 가입을 높이는 결과를 낳을 수 있다. 즉, 두 사건은 같은 원인의 결과일 수 있다. 가령, 학교가 도시에 있느냐 지방에 있느냐가 그런 원인이 될 수도 있다.



<sup>[각주:

2

]</sup>

3. 전혀 다른 원인으로부터 그런 상관관계가 나타날 수 있다. 전교조 가입을 높이는 원인과 수능 성적이 낮아진 원인이 아무 관련이 없을 수 있다.

4. 통계적으로 유의미하지 않을 수 있다. 기사에서 그는 단 1년치의 자료만을 근거로 제시하고 있다. 만약 좀 더 신뢰성 있는 주장을 하기 위해서는 여러 년도의 자료를 근거로 제시해야 하며, 또한 통계적 오차 범위도 제시해야 한다.

5. 그는 대상의 일부만을 비교하고 있다. 전교조 가입률이 5%미만인 곳과 40%이상인 곳을 비교하고 있는데, 그렇다면 그 사이에 있는 나머지

55%의

학교에서는 아무 관계가 없을 수 있다. 또한, 우리나라의 교원 단체는 전교조만 있는 것이 아니기 때문에 다른 교원 단체의 영향력도 분석해야 한다. 교총 가입자가 많을수록 수능 성적이 떨어진다는 상관관계를 찾아낼 수도 있기 때문이다. 또한, 전교조 가입률이 5%미만인 곳의 수와 40%이상인 곳의 수가 크게 차이날 가능성도 있다. 만약, 전교조 가입률이 5%미만인 곳이 엄청 적은 수라고 한다면, 그것은 전교조 가입률이 적은 학교를 대표하지 못한다.

6. 전교조 교사와 수능 성적이 인과관계가 있다 하여 그것이 전교조 회원 명단을 일반에 공개하는 주장의 근거가 될 수 없다. 가령, 그런 공개의 경우 광고 전화, 사기 전화 등으로 개인의 2차 피해를 유발할 수 있으며 실제로 그런 사례가 보고되고 있다.

논술, 심층면접, 토플, GRE등을 준비하려면 이정도 글은 1분 내에 읽고 1분 내에 초안을 작성할 수 있어야 할 것이다. 쩝. (음?)

선택할 수 있는 것이 여러개가 있다. A, B, C, …

몇가지 착각에 빠질 수 있는데, 대표적으로, “내가 선택할 수 있다”고 믿는 것. 실제로 잘 살펴보면, 선택할 수 있다고 생각하는 것들 중에서 몇가지는 고를 수 없는 것들이다. 좋고 나쁘고를 떠나서, 선택할 수 없는 것을 선택할 수도 있을 거라고 생각한다.

“내가 최선의 선택을 할 수 있다”고 믿는 것 또한 착각이다. 모든 상황에서 모든 정확한 정보를 알 수는 없으며, 모든 정확한 정보를 알고 있다 하더라도 최선의 선택을 할 수 없다.

상황은 항상 바뀌는 것이라, 내가 선택하던 상황에서는 최선이었지만 그것이 결과적으로 최악이 될 수도 있다. 반대일 수도 있고, 물론 상황이 바뀌지 않을 수도 있다.

최선의 선택을 했는데 최악이 된 경우, 얼마나 많을까.

반대로, “난 지금 최악의 선택을 해버렸어”라고 생각하는 것도 착각일 수 있다. 하나의 생각에 빠져서 절망하고만 있으면 우연히 찾아온 기회를 그대로 날려버릴 수도 있다.

어떤 상황에서도 상황에 매몰되지 않고, 절망하지도 않고 낙관하지도 않는 것이 그럭저럭 괜찮은 선택을 하는 비결이다. 최선의 선택이란 없다.

앞에서, 100원짜리 n개와 500원짜리 m개로 1000000원을 지불하는 방법의 수가 몇가지인가를 물어봤었다. 일단 이 문제를 잘 풀어보자. (사실 앞에서 “물리”에 들어가 있던



“마법의 분배함수”



글과 내용이 겹친다.)

어쨌든, 500원짜리로 1000000원을 만들기 위해서는 2000개가 필요하다. 그럼, 500원짜리 m개가 있으면, 100원은 몇개나 필요할까?

간단한 산수를 해보면 n=(100000-500m)/100 이다. 아무튼, 중요한건 n개와 m개가 있다는 것이다.

n개와 m개를 모두 합쳐서, 전체를 늘어놓는 방법의 수는 무려 (n+m)!개이다. 하지만, 그중에 n개가 중복된다. n개 끼리는 서로 바꾸더라도 상관이 없기 때문에, n개끼리 서로 바꾸는 경우의 수는 세면 안된다. 반대로 m개도 서로 중복된다. 따라서, 이 경우의 수도 세면 안된다. 잘 생각해 보면, 그런 경우의 수를 세지 않기 위해서는 각 경우의 수로 나눠 줘야 한다는 걸 알 수 있다.



즉, (n+m)! / (n! m!) 가지의 경우가 있다. (이게 왜 맞는지는 100원짜리 2개, 500원짜리 0개를 놓고 고민해보면 된다. 그래도 이해가 안되면 집에 있는 저금통을 탈탈 털어서 생각해 보자. -_-;; 언젠가 그림이 추가될 수도 있다.)

이제, 순열대칭군에 대해서 생각해 보자. 지금까지 말한건 뭐냐 하는 사람도 있겠지만, 연습문제였다.

(a, b)가 있다고 하자. 이걸 늘어놓는 방법의 수는 어떻게 될까? 당연히 2가지다. (a, b)와 (b, a)가 된다. 그럼, 이것을 이렇게 쓸 수 있다. ({a, a}, {b, b})와 ({a, b}, {b, a})라고 써보자. {x, y}는 x를 y로 바꾼다는 뜻이다. 여기서, “바꾼다”라는 동사가 들어갔음에 유의하자. 영어로는 이것을 Operation이라고 한다. 그런데, 사실 앞에 있는 a와 b는 어차피 순서대로 쓸 것이기 때문에, 이제부터는 그냥 (a, b)와 (b, a)라고 그냥 쓰자. 하지만, 여기서 엄청난 변화가 생기게 된다. 이제, “바꾼다”라는 것을 여러번 할 수 있게 된 것이다. 가령 (a, b)를 두번 적용할 수 있다. 물론 여기서 이것은 아무것도 바꾸지 않기 때문에 두번을 적용하든 세번을 적용하든 그냥 그대로 놔두는 것이 된다.

이제



,



여기서부터



,



순열을
군의 한 종류로 생각해볼 수 있다는 점을 알 수 있다



.

군



(Group)



이란 다음과 같은 재미있는 성질을 가진 어떤 집합을
말한다



.

1.









이항연산



(Binary operation)



이 잘
정의된다



.



즉



,



어떤 군



G



가 있을 때



,



이 군의 원소



a, b



가 있다고
하고



,



이항연산



?



가 있다고 하면



, a?b



가 다시 군



G



의 원소이다



.



이 말은



, a, b



를 알려주면 그걸 갖고 이항연산을 한 후에 어떤 원소가 되는지 알려주는
규칙을 잘 찾아낼 수 있다는 것이다



.

2.









이항연산



?



가 있으면



,



임의의 원소



a



에 대해서 항등원이 있다



.



즉



, a?e = e?a = a



인 원소



e



가 있다



.

3.









이항연산



?



가 있으면



,



임의의 원소



a



에 대해서 그 역원이 있다



.



즉



,



항등원



e



에 대해서



a?b = b?a = e



가 되는 원소



b



가 항상 있다



.



이때



, b = -a



라고 쓴다



. (



흔히들



.)

이런 세가지 규칙을 만족하는 집합을 군이라고 부른다



.



순열이 왜 군이
되는지 검토해 보자



.

가령



, (a, b)



를 바꾸는 연산을 모아놓는다고 하면



, (a, b)



를 그대로 놔두는 것



(e)



이 하나 있고



, (b, a)



로 바꾸는 것



(x)



이 하나 있다



.



여기에 대해서 이항연산이란



,



이런 작용들을 연속으로 작용하는 것을
말한다



.



가령



, x?e



라고 하면



e



를 먼저 작용하고



x



를 작용한다는 뜻이다



.



이것은 잘 정의되는 이항연산인데



, (a, b)



에 대해서 바꿔주는
것들은 어떻게 바꿔주더라도 하나의 순열을 적용한 것으로 나타낼 수 있다



.



원소의 수가 늘어나도 마찬가지이다



. (a, b, c, d)



를



(c, a, d, b)



로 바꿔주는 작용과



(a, c, d, b)



로 바꿔주는 작용을 연속적으로 작용시키면



,



그
결과물 역시 한번에 바꿔주는 작용의 하나에 속한다



. (



직접 해보자



.



절대



,



귀찮아서 시키는거 아님



.)

이런 늘어놓는 대칭성을



, n



개의 원소에 대해서 늘어놓는 것들에 대한
대칭성을



$S_n$



이라고 부른다



.



그럼



,



여기서



$S_n$



은 다시 우순열



(Even
permutation)



과 기순열



(Odd permutation)



으로 나눌 수 있다



.



한번에



2



개씩만 바꾸는 행동을 여러 번 반복해서 모든 순열을 얻을
수 있는데



,



그중 짝수번 반복해서 얻을 수 있는 것들은 우순열



,



홀수번
반복해서 얻을 수 있는 것들은 기순열이 된다



.



물론 이 두 집합은



$S_n$



을 정확히 반으로 나눈다



.

가령, (a, b, c, d)를 한번에 2개씩만 바꿔서 (d, b, a, c)를 만들려면, (a, b, c, d)->(a, b, d, c)->(d, b, a, c)가 된다. 3번 바꿔서 만들어야 하므로 (d, b, a, c)는 기순열이다.

사실, 우순열들만 다 모아두면 그것은 또한 다시 군을 이룬다. 이런것을 부분군이라고 하는데, 어떤 군의 부분집합이 다시 그 자체로 군이 되는 경우이다.

그렇다면, (n+m)!/(n! m!) 은 항상 자연수인가?