소셜 그래프 게임의 분석

소셜 그래프 게임은 최근에 새로 생긴 도박의 한 형태이다. 게임 방식은 아주 간단한데, 판돈을 걸면 게임이 시작된다. 그래프에 숫자가 시간이 지남에 따라 올라가는데, 그 숫자만큼의 배율에 판돈을 곱해서 보상을 받는다. 단, 플레이어가 게임을 먼저 “종료”해서 적당한 배율을 얻어내야 한다. 만약 숫자를 올리고 있는 딜러가 먼저 “종료”한다면 판돈은 딜러가 가져가고 플레이어는 보상을 받지 못한다. 게임을 언제 종료할 것인가는 전적으로 플레이어와 딜러의 선택이다. 또한, 딜러와 플레이어는 서로 상대방이 언제 종료할 것인지 알지 못하는 상태에서 게임을 하게 된다.

이 게임은 위와 같은 인터페이스를 갖고 있는데 저기 숫자로 표시된 것이 배율이다. 자, 그럼 이제 이게 뭐가 문제인지 본격적으로 분석해 보자.

x_d를 딜러가 종료할 때의 배율이라 하고, x_p를 플레이어가 종료할 때의 배율이라고 하자. x_p < x_d인 경우 플레이어는 x_p의 이익을 보고, x_p \geq x_d인 경우 플레이어는 -1의 손해를 본다. 여기서 -1로 정할 수 있는 이유는 어차피 판돈에 비례한 배율이기 때문에 손해를 보는 경우 판돈만큼 잃기 때문이다. 이것을 수익 함수 f(x_p, x_d)로 쓸 수 있다.

그 다음, 서로 언제 종료할지에 대해서는 아무런 정보가 없으므로 일단 균등분포를 가정하자. 균등분포를 가정할 경우, 최대 배율 x_{max}가 있다고 해야 하는데, 그렇게 하면 확률밀도함수를 다음과 같이 규격화 할 수 있다.

P(x_p, x_d)=\frac{1}{x_{max}^2}

그럼 이제 평균적인 수익을 계산해 볼 수 있다. A영역에 있는 경우는 수익이 -1이다. B영역에 있는 경우는 수익이 x_p이다. 구간에 따라 적분을 계산하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

\int_A dx_d dx_p f(x_p, x_d)P(x_p, x_d) = -\frac{1}{2}

 

\int_B dx_d dx_p f(x_p, x_d)P(x_p, x_d) = \frac{x_{max}}{6}

 

\int_{A+B} dx_d dx_p f(x_p, x_d)P(x_p, x_d) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}x_{max}-1\right)

마지막 식의 의미는 무엇일까? x_{max}<3이면 평균 수익이 음수가 된다. 즉, 플레이어가 손해를 본다. 배율을 3배 이하로 유지하는 경우에는 플레이어가 무슨 전략을 써도 평균적으로 반드시 손해를 본다는 뜻이다.

하지만 동영상을 보면 배율이 3배를 넘어서 수십배, 수백배, 수천배까지 가는데요? 이런 질문이 나올 수 있다. 물론 그 경우에도 위와 같은 계산을 해서 플레이어가 평균적으로 손해를 보도록 만들 수 있다. 위의 적분 영역에서 A부분은 x_{max}의 제곱에 비례해서 늘어나는데, B부분은 확률밀도함수 P(x_p, x_d)의 구조에 따라 달라진다. 즉, 원하는 최대 배율을 설계하고서 확률밀도함수를 포함한 B영역의 전체 부피를 A영역의 부피보다 작게 유지한다면, 가끔 대박이 터지는 일은 있겠지만 전체적으로는 플레이어가 손해를 본다. 그것은 곧 딜러의 수익으로 이어진다. 심지어 이 분석은 딜러가 사기를 치지도 않고, 먹튀를 하지도 않고, 주어진 확률분포를 조작하지도 않는 나름 공정한 게임인 경우에도 성립하는 결론이다. 가령, 확률밀도함수의 중간 부분을 얇게 설계하고 최대 배율 근처와 작은 배율 근처만 두껍게 해서 대박이 좀 더 자주 터지는 것 처럼 설계할 수도 있다는 뜻이다. 또, B영역의 전체 부피가 A영역의 부피보다 작기만 하면 되므로, 아주 조금만 더 작게 설계해서 플레이어가 실제로 누군가는 이득을 보는 것 처럼 보이게 할 수도 있다.

결론 – 하지 마라.

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